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SUM AND DIFFERENCE FREE SETS

机译：总和和差额免费集

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In this paper we prove that if X is an uncountable subset of the reals and κ is a cardinal smaller than the cardinality of the set X, then the algebraic difference X - X of the set X is not a finite union of κ sum free or κ difference free sets. An application of the above result is that for any function f : R → {1, 2,..., n} and for each cardinal λ < 2~ω, the set of all x such that |{h > 0 : f(x - h) = f (x + h)}| ≥ λ is of the size of the continuum. Among other things, we show that a finite union of countably many translates of 2~ω difference free subsets of the reals is not residual in an interval. In the above statement, "countably many" can be replaced by "fewer than continuum many" provided that 2~ω is a regular cardinal.
机译：在本文中，我们证明了：如果X是实数的不可数子集，并且κ是小于集合X的基数的基数，那么集合X的代数差X-X并不是κ和自由的有限并集或κ差异自由集。上述结果的应用是，对于任何函数f：R→{1，2，...，n}和每个基数λ<2〜ω，所有x的集合使得| {h> 0：f （x-h）= f（x + h）} | ≥λ是连续体的大小。除其他事项外，我们表明，实数的2〜ω个无差子集的无数次平移的有限并集在间隔中不是残差的。在上面的陈述中，只要2〜ω是正则基数，就可以用“少于连续许多”来代替“很多”。

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