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A TWO-SET PROBLEM ON COLORING THE INTEGERS

机译：着色的两个问题

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For positive integers m, r and a system of inequalities R, define f(m, r, R) to be the minimum integer n such that for every coloring of {1,2,... ,n} with r colors, there exist two monochromatic subsets X, Y is contained [1,n] (but not necessarily of the same color) which satisfy: (i) R, (ii) the largest number in X is less than the smallest number in Y, (iii) |X| = |Y| = m. Let L_X = -2x_1+x_(m-1)+x_m for x_1, x_(m-1), x_m ∈ X. L_Y = -2y_1 +y_(m-1) +y_m for y_1, y_(m-1), y_m ∈ Y, and let R := L_X ≤ L_Y. In this paper we prove that f(m, r, R) = 5m - 3 and consider the corresponding question for zero-sum sets and generalize our result in the sense of the Krdos-Ginzburg- Ziv theorem.
机译：对于正整数m，r和一个不等式R，将f（m，r，R）定义为最小整数n，以便对于{1,2，...，n}的每种着色都具有r颜色，存在两个单色子集X，Y包含[1，n]（但不一定具有相同的颜色），它们满足：（i）R，（ii）X中的最大数小于Y中的最小数，（iii ）| X | = | Y | =米令L_X = -2x_1 + x_（m-1）+ x_m对于x_1，x_（m-1），x_m∈X.L_Y = -2y_1 + y_（m-1）+ y_m对于y_1，y_（m-1） ，y_m∈Y，令R：= L_X≤L_Y。在本文中，我们证明f（m，r，R）= 5m-3，并考虑了零和集的相应问题，并在Krdos-Ginzburg-Ziv定理的意义上推广了我们的结果。

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