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DIAGONAL NON-SEMICONTINUOUS VARIATIONAL PROBLEMS

机译：对角非半连续变分问题

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We study the minimum problem for non sequentially weakly lower semicontinuos functionals of the formF(u) = integral(I) f(x, u(x), u' (x)) dx,defined on Sobolev spaces, where the integrand f : I x R-m x R-m - R is assumed to be non convex in the last variable. Denoting by (f) over bar the lower convex envelope of f with respect to the last variable, we prove the existence of minimum points of F assuming that the application p (sic) (f) over bar(., p, .) is separately monotone with respect to each component p(i) of the vector p and that the Hessian matrix of the application xi (sic) (f) over bar(., ., xi) is diagonal. In the special case of functionals of sum type represented by integrands of the form f(x, p, xi) = g(x, xi) + h(x, p), we assume that the separate monotonicity of the map p (sic) h(., p) holds true in a neighbourhood of the (unique) minimizer of the relaxed functional and not necessarily on its whole domain.
机译：我们研究在Sobolev空间上定义的形式为F（u）=积分（I）f（x，u（x），u'（x））dx的非顺序弱下半连续函数的最小问题，其中被乘数f： I x Rm x Rm-> R假定在最后一个变量中是非凸的。相对于最后一个变量，用（f）在bar上表示f的下凸包络，我们假设在bar（。，p，。）上的应用p（sic）（f）是关于向量p的每个分量p（i）分别是单调的，并且在bar（。，。，xi）上应用xi（sic）（f）的Hessian矩阵是对角的。在特殊形式的以泛型f（x，p，xi）= g（x，xi）+ h（x，p）表示的求和类型泛函中，我们假设映射p（sic ）h（。，p）在松弛函数的（唯一）最小化器的附近成立，并且不一定在其整个域上成立。

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