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On Krebes's tangle

机译：克雷伯斯的纠结

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A genus-1 tangle (g) is an arc properly embedded in a standardly embedded solid torus S in the 3-sphere. We say that a genus-1 tangle embeds in a knot K (∈) S~3 if the tangle can be completed by adding an arc exterior to the solid torus to form the knot K. We call K a closure of (g). An obstruction to embedding a genus-1 tangle (g) in a knot is given by torsion in the homology of branched covers of S branched over (g). We examine a particular example A of a genus-1 tangle, given by Krebes, and consider its two double-branched covers. Using this homological obstruction, we show that any closure of A obtained via an arc which passes through the hole of S an odd number of times must have determinant divisible by three. A resulting corollary is that if A embeds in the unknot, then the arc which completes A to the unknot must pass through the hole of S an even number of times.
机译：属1缠结（g）是正确嵌入3球体中标准嵌入的实心圆环S中的弧。我们说，如果可以通过在实心圆环外部添加弧形以形成结K来完成缠结，则在缠结K（∈）S〜3中嵌入一个属1的缠结。我们称K为（g）的闭包。在第（g）分支的S的分支分支的同源性中，通过扭转产生了将第1类纠缠（g）嵌入到结中的障碍。我们研究了Krebes给出的一个属1纠缠的特殊示例A，并考虑了它的两个双分支覆盖。使用这种同源性障碍，我们表明，通过弧形以奇数次穿过S孔的弧获得的A的任何闭合，都必须具有行列式可被三整除。由此产生的必然结果是，如果将A嵌入到小节中，则完成A到小节的弧必须穿过S的孔数次。

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