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On the categorical meaning of Hausdorff and Gromov distances, I

机译：关于Hausdorff距离和Gromov距离的分类意义，我

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Hausdorff and Gromov distances are introduced and treated in the context of categories enriched over a commutative unital quantale V. The Hausdorff functor which, for every V-category X, provides the powerset of X with a suitable V-category structure, is part of a monad on V-Cat whose Eilenberg-Moore algebras are order-complete. The Gromov construction may be pursued for any endofunctor K of V-Cat. In order to define the Gromov "distance" between V-categories X and V we use V-modules between X and V, rather than V-category structures on the disjoint union of X and V. Hence, we first provide a general extension theorem which, for any K, yields a lax extension K to the category V-Mod of V-categories, with V-modules as morphisms.
机译：Hausdorff和Gromov距离是在交换型单位量子V上丰富的类别的背景下引入和处理的。Hausdorff函子对于每个V-类别X，都为X的幂集提供合适的V-类别结构，是A的一部分。 V-Cat上的monad，其Eilenberg-Moore代数是有序的。对于V-Cat的任何终结者K，都可以采用Gromov构造。为了定义X和V的V类之间的Gromov“距离”，我们使用X和V之间的V-模块，而不是X和V的不交集上的V-类别结构。因此，我们首先提供一个一般的扩展定理对于任何K，对于V类的V-Mod类，以V-模为态射，产生松弛的扩展K。

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