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Topological sums and products in ZF-set theory

机译：ZF集理论中的拓扑和和积

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In ZF, i.e., Zermelo-Fraenkel set theory without the axiom of choice, the category Top of topological spaces and continuous maps is well-behaved. In particular, Top has sums (= coproducts) and products. However, it may happen that for families (X_i)_(i∈l) and (Y_i)_(i∈l) with the property that each X_i is homeomorphic to the corresponding Y_i neither their sums ⊕_(i∈l), X_i and ⊕_(i∈l) Y_i nor their products Π_(i∈l) X_i and Π_(i∈l) Y_i are homeomorphic. It will be shown that the axiom of choice is not only sufficient but also necessary to rectify this defect.
机译：在ZF中，即没有选择公理的Zermelo-Fraenkel集合论，拓扑空间和连续图的类别Top行为良好。特别是，Top具有和（=副产品）和乘积。但是，对于族（X_i）_（i∈l）和（Y_i）_（i∈l），具有每个X_i与对应的Y_i同胚的性质，或者它们的和⊕_（i∈l）可能发生， X_i和⊕_（i∈l）Y_i或它们的乘积__（i∈l）X_i和（_（i∈l）Y_i是​​同胚的。可以看出，选择公理不仅足以纠正该缺陷，而且是必要的。

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