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Countable choice and compactness

机译：众多选择和紧凑性

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We work in set-theory without choice ZF. Denoting by AC(N) the countable axiom of choice, we show in ZF + AC(N) that the closed unit ball of a uniformly convex Banach space is compact in the convex topology (an alternative to the weak topology in ZF). We prove that this ball is (closely) convex-compact in the convex topology. Given a set I, a real number p ≥ 1 (respectively p = 0), and some closed subset F of [0, 1]~I which is a bounded subset of e~p(I), we show that AC(N) (respectively DC, the axiom of Dependent Choices) implies the compactness of F.
机译：我们选择ZF进行集合论工作。用AC（N）表示选择的可数公理，我们在ZF + AC（N）中证明了均匀凸Banach空间的闭合单位球在凸拓扑中是紧凑的（替代ZF中的弱拓扑）。我们证明该球在凸拓扑中是（紧密）凸紧致的。给定一个集合I，一个实数p≥1（分别为p = 0），以及[0，1]〜I的某些闭合子集F，它是e〜p（I）的有界子集，我们证明AC（N ）（分别为DC，“相依选择”的公理）表示F的紧凑性。

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