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【24h】

Rainbow domination in the lexicographic product of graphs

机译：图的词典产品中的彩虹控制

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A k-rainbow dominating function of a graph G is a map f from V(G) to the set of all subsets of {1,2,?,k} such that {1, ?,k}=∪ _(u ε N(v))f(u) whenever v is a vertex with f(v)=0ì?. The k-rainbow domination number of G is the invariant γ_(rk)(G), which is the minimum sum (over all the vertices of G) of the cardinalities of the subsets assigned by a k-rainbow dominating function. We focus on the 2-rainbow domination number of the lexicographic product of graphs and prove sharp lower and upper bounds for this number. In fact, we prove the exact value of γ_(r2)(Ga ° H) in terms of domination invariants of G except for the case when γ_(r2)(H)=3 and there exists a minimum 2-rainbow dominating function of H such that there is a vertex in H with the label {1,2}.
机译：图G的k彩虹支配函数是从V（G）到{1,2，？，k}的所有子集的集合的映射f，使得{1，？，k} =∪_（uε N（v））f（u）每当v是一个f（v）=0ì？的顶点时。 G的k彩虹支配数是不变量γ_（rk）（G），它是由k彩虹支配函数分配的子集的基数的最小总和（在G的所有顶点上）。我们专注于图的字典积的2彩虹控制数，并证明该数字的上下边界明显。实际上，我们证明了根据G的控制不变性，γ_（r2）（Ga°H）的精确值，除了当γ_（r2）（H）= 3且存在最小的2虹主导函数H，使得H中有一个标记为{1,2}的顶点。

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