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Metabelian groups: Full-rank presentations, randomness and Diophantine problems

机译：梅纳比亚群体：全秩介绍，随机性和蒸氨酸问题

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We study metabelian groups G given by full rank finite presentations (A vertical bar R)M in the variety M of metabelian groups. We prove that G is a product of a free metabelian subgroup of rank max {0, vertical bar A vertical bar - vertical bar R vertical bar} and a virtually abelian normal subgroup, and that if vertical bar R vertical bar <= vertical bar A vertical bar - 2, then the Diophantine problem of G is undecidable, while it is decidable if vertical bar R vertical bar >= vertical bar A vertical bar. We further prove that if vertical bar R vertical bar <= vertical bar A vertical bar - 1, then, in any direct decomposition of G, all factors, except one, are virtually abelian. Since finite presentations have full rank asymptotically almost surely, metabelian groups finitely presented in the variety of metabelian groups satisfy all the aforementioned properties asymptotically almost surely.
机译：我们研究了由全秩有限表示（垂直条R）M给出的元胚群G在元胚群的变种M中。我们证明了G是秩为max{0，竖直条为竖直条-竖直条R竖直条}的自由元胚子群和几乎交换正规子群的乘积，并且如果竖直条R竖直条<=竖直条a竖直条-2，则G的丢番图问题是不可判定的，而如果竖直条R竖直条>=竖直条a竖直条，则G的丢番图问题是可判定的。我们进一步证明，如果垂直条R垂直条<=垂直条A垂直条-1，那么，在G的任何直接分解中，除一个因子外，所有因子实际上都是交换的。由于有限表示几乎肯定地具有满秩，所以在各种元代数群中有限表示的元代数群几乎肯定地满足上述所有性质。

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