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Approximate solution of singular integral equations of the first kind with Cauchy kernel

机译：具有柯西核的第一类奇异积分方程的近似解

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In this work a study of efficient approximate methods for solving the Cauchy type singular integral equations (CSIEs) of the first kind, over a finite interval, is presented. In the solution, Chebyshev polynomials of the first kind, T-n(x), second kind, U-n(x), third kind, V-n(x), and fourth kind, W-n(x), corresponding to respective weight functions W-(1)(x) = (1 - x(2))(-1/2), W-(2)(x) = (1 - x(2))(1/2), W-(3)(x) = (1 + x)(1/2) (1 - x)(-1/2) and W-(4)(x) = (1 + x)(-1/2) (1 - x )(1/2), have been used to obtain systems of linear algebraic equations. These systems are solved numerically. It is shown that for a linear force function the method of approximate solution gives an exact solution, and it cannot be generalized to any polynomial of degree n. Numerical results for other force functions are given to illustrate the efficiency and accuracy of the method.
机译：在这项工作中，提出了一种有效的近似方法，用于在有限的区间内求解第一类柯西型奇异积分方程（CSIE）。在解决方案中，对应于各个权重函数W-（1）的第一类Chebyshev多项式Tn（x），第二类Un（x），第三类Vn（x）和第四类Wn（x） ）（x）=（1-x（2））（-1/2），W-（2）（x）=（1-x（2））（1/2），W-（3）（x ）=（1 + x）（1/2）（1-x）（-1/2）和W-（4）（x）=（1 + x）（-1/2）（1-x）（ 1/2）已用于获得线性代数方程组。这些系统通过数值求解。结果表明，对于线性力函数，近似解的方法给出了精确的解，并且不能将其推广到任何次数为n的多项式。给出了其他力函数的数值结果，以说明该方法的效率和准确性。

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