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Groups of convex bodies

机译：凸体组

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Abstract In this paper we introduce and study a topological abelian group of convex bodies, analogous to the scissors congruence group and McMullen’s polytope algebra, with the universal property that continuous valuations on convex bodies correspond to continuous homomorphisms on the group of convex bodies. To study this group, we first obtain a version of McMullen polynomiality for valuations that take values not in fields or vector spaces, but in abelian groups. Using this, we are able to equip the group of convex bodies with a grading that consists of real vector spaces in all positive degrees, mirroring one of the main structural properties of the polytope algebra. It is hoped that this work can serve as the starting point for a K-theoretic interpretation of valuations on convex bodies.
机译：摘要 本文介绍并研究了凸体的拓扑阿贝尔群，类似于剪刀同余群和麦克马伦多面代数，其普遍性质是凸体上的连续估值对应于凸体群上的连续同态。为了研究这个群，我们首先获得了一个 McMullen 多项式的估值版本，该估值不是在场或向量空间中取值，而是在阿贝尔群中取值。利用这一点，我们能够为凸体组配备一个分级，该分级由所有正度的实向量空间组成，反映了多面代数的主要结构性质之一。希望这项工作可以作为凸体估值的K理论解释的起点。

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