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Coarse geometry of the fire retaining property and group splittings

机译：防火挡土和组分裂的粗略几何形状

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Given a non-decreasing function f : N -> N we define a single player game on (infinite) connected graphs that we call fire retaining. If a graph G admits a winning strategy for any initial configuration (initial fire) then we say that G has the f -retaining property; in this case if f is a polynomial of degree d, we say that G has the polynomial retaining property of degree d. We prove that having the polynomial retaining property of degree d is a quasi isometry invariant in the class of uniformly locally finite connected graphs. Henceforth, the retaining property defines a quasi-isometric invariant of finitely generated groups. We prove that if a finitely generated group G splits over a quasi-isometrically embedded subgroup of polynomial growth of degree d, then G has polynomial retaining property of degree d - 1. Some connections to other work on quasi-isometry invariants of finitely generated groups are discussed and some questions are raised.
机译：给定一个非递减函数 f ： N -> N，我们在（无限）连接图上定义一个单人游戏，我们称之为火力保留。如果图 G 承认任何初始配置（初始开火）的获胜策略，那么我们说 G 具有 f 保留属性;在这种情况下，如果 F 是 D 阶的多项式，我们说 G 具有 d 阶的多项式保留性质。我们证明了具有 d 次多项式保持性质的多项式不变量是均匀局部有限连接图类中的准等距不变量。此后，保留属性定义了有限生成群的准等距不变量。我们证明，如果一个有限生成的群 G 分裂在 d 阶多项式增长的准等距嵌入子群上，则 G 具有 d - 1 阶的多项式保留性质。讨论了与有限生成群的准等距不变量的其他工作的一些联系，并提出了一些问题。

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