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CHOICES AND INTERVALS

机译：选择和间隔

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We consider a random interval splitting process, in which the splitting rule depends on the empirical distribution of interval lengths. We show that this empirical distribution converges to a limit almost surely as the number of intervals goes to infinity. We give a characterization of this limit as a solution of an ODE and use this to derive precise tail estimates. The convergence is established by showing that the size-biased empirical distribution evolves in the limit according to a certain deterministic evolution equation. Although this equation involves a non-local, non-linear operator, it can be studied thanks to a carefully chosen norm with respect to which this operator is contractive.
机译：我们考虑一个随机间隔分裂过程，其中分裂规则取决于间隔长度的经验分布。我们证明，随着间隔数达到无穷大，这种经验分布几乎可以肯定地收敛到极限。我们将此极限的特征描述为ODE的解，并使用它来得出精确的尾部估计。通过显示大小偏倚的经验分布根据某个确定性演化方程在极限中演化来建立收敛。尽管此方程涉及非局部非线性算子，但可以通过仔细选择该算子可收缩的范数来对其进行研究。

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