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【2h】

High Order Methods for a Class of Volterra Integral Equations with Weakly Singular Kernels

机译：一类带弱奇异核的Volterra积分方程的高阶方法

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摘要

The solution of the Volterra integral equation, [ ( * )qquad x(t) = g_1 (t) + sqrt {t}g_2 (t) + int _0^t rac {K(t,s,x(s))} {sqrt {t - s} } ds, quad 0 leqq t leqq T,] where $g_1 (t)$, $g_2 (t)$ and $K(t,s,x)$ are smooth functions, can be represented as $x(t) = u(t) + sqrt {t}v(t) $,$0 leqq t leqq T$, where $u(t)$, $v(t)$ are, smooth and satisfy a system of Volterra integral equations. In this paper, numerical schemes for the solution of (*) are suggested which calculate $x(t)$ via $u(t)$, $v(t)$ in a neighborhood of the origin and use (*) on the rest of the interval $0 leqq t leqq T$. In this way, methods of arbitrarily high order can be derived. As an example, schemes based on the product integration analogue of Simpson's rule are treated in detail. The schemes are shown to be convergent of order $h^{{7 / 2}} $. Asymptotic error estimates are derived in order to examine the numerical stability of the methods.
机译：Volterra积分方程的解 [（*） qquad x（t）= g_1（t）+ sqrt {t} g_2（t）+ int _0 ^ t frac {K（t，s，x （s））} { sqrt {t-s}} ds， quad 0 leqq t leqq T，]其中$ g_1（t）$，$ g_2（t）$和$ K（t，s， x）$是平滑函数，可以表示为$ x（t）= u（t）+ sqrt {t} v（t）$，$ 0 leqq t leqq T $，其中$ u（t）$， $ v（t）$平滑且满足Volterra积分方程组。在本文中，提出了（*）解的数值方案，该方案通过在原点附近通过$ u（t）$，$ v（t）$计算$ x（t）$，并在（*）上使用（*）其余时间间隔$ 0 leqq t leqq T $。以此方式，可以导出任意高阶的方法。例如，详细介绍了基于Simpson规则的产品集成类似物的方案。该方案显示为收敛于阶$ h ^ {{7/2}} $。为了检查方法的数值稳定性，导出了渐近误差估计。

著录项

  • 作者

    de Hoog Frank; Weiss Richard;

  • 作者单位
  • 年度 1974
  • 总页数
  • 原文格式 PDF
  • 正文语种 {"code":"en","name":"English","id":9}
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