基于参数化降阶模型周期结构的三维电磁场仿真模拟方法

技术领域

本发明属于三维电磁场数值求解技术领域，涉及一种基于参数化降阶模型周期结构的三 维电磁场仿真模拟方法。

背景技术

周期结构在微波管中应用非常广泛，包括波导截面的周期性变化，波导周期加载膜片， 周期填充介质等。在微波管中，普遍采用周期结构作为器件的高频电路，形成电子注与高频 场相互作用进行能量交换以实现微波振荡或放大的场所。周期结构的高频特性：包括色散特 性、阻抗特性与衰减特性，直接影响器件的工作频率、频带宽度、换能效率和输出功率，以 及其他一系列整管性能。高精度地获得周期结构的高频特性有着极其重要的意义。

随着计算机技术的发展，利用有限元法对微波管周期结构进行三维本征分析，从而获得 其高频特性，已经成为微波管周期结构研究和设计中最常用和最有效的方法之一。这类方法 的主要过程是用准周期边界条件将微波管周期结构进行截断得到一个周期长度的计算区域， 然后对该计算区域进行三维网格离散，采用有限元法可以将微波管周期结构的电磁问题转换 成一个大型广义本征值方程，对求解该本征值方程所得到的本征值和本征向量进行一系列的 后处理就能最终获得微波管周期结构的高频特性。

设计出高性能的微波管周期结构，需要在该微波管周期结构中不同的几何参数下对其进 行优化仿真，来获得达到最佳性能。比如在螺旋线慢波结构中，往往需要对螺旋线慢波结构的 螺距、螺旋线内径、夹持杆宽度等进行调整优化。目前现有的微波管周期结构本征分析方法 在不同几何参数下都只能重新建模、划分网格、进行本征分析，因此这样的优化仿真效率非 常低。这一缺点导致利用现有的微波管周期结构有限本征分析方法无法实现微波管周期结构 高效率的优化仿真。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术中存在的缺陷，提供一种基于参数化降阶模型周期结构的 三维电磁场仿真模拟方法，利用该方法将需要优化的周期结构的几何参数设置为变量，在几 何参数变化范围内取一组数据建模后，进行微波管周期结构的有限元本征分析，就能快速精 确地获得微波管周期结构在多个几何参数：如螺旋线慢波结构的螺距、螺旋线内径、夹持杆 宽度等变化范围内的全部高频特性曲线，从而实现微波管周期结构的快速优化仿真。

其技术方案为：

一种基于参数化降阶模型周期结构的三维电磁场仿真模拟方法，包括以下步骤：

A.选取特定的具有周期特性的微波管高频电路；

B.从步骤A中选取的高频电路中截取一个周期长度的结构进行建模，建立该周期长度 的高频结构对应的几何结构模型；

C.建立周期结构内的电磁场边值问题，通过有限元法的标准变分原理得到电磁场边值 问题的泛函方程；

D.采用四面体网格剖分求解域，并保证周期边界主面和从面上的网格匹配；

E.选择基函数，将电场强度矢量在所有网格内用基函数展开，并运用里兹方法得到周 期结构有限元本征分析中的广义本征值方程；

F.将步骤E所得到的广义本征值方程中的所有变量用Taylor级数展开；

G.获得步骤F中本征向量的Taylor展开系数构成的子空间K；

H.根据步骤G获得的子空间K，建立周期结构有限元本征分析中的参数化降阶模型；

I.利用步骤H中获得的周期结构的参数化降阶模型，可以快速计算周期结构在给定几 何参数范围内的频率以及对应的电场，通过进一步后处理可得周期结构高频特性。

进一步优选，所述步骤A中所述微波管高频电路主要包括螺旋线高频电路、耦合腔高 频电路、折叠波导高频电路。

进一步优选，所述步骤B中，根据高频电路的周期性，仅建立一个空间周期几何结构， 并引入周期边界条件来仿真整个周期结构高频电路的高频特性。

进一步优选，所述步骤C中，首先，根据麦克斯韦方程组与周期结构的边界条件与导体 属性得到周期结构内电磁场的边值问题，如下：

$\left(\begin{array}{cc}▿\times {\mu }_r^{-1}▿\times E-k_0^2{ϵ}_{r}E=0& \mathrm{in\Omega }\\ \hat{n}\times (E_s\times \hat{n})=\hat{n}\times {(E_m\times \hat{n})e}^{-\mathrm{j\beta L}}& \mathrm{on}{\Gamma }_{\mathrm{PBC}}\\ \hat{n}\times E=0& \mathrm{on}{\Gamma }_{\mathrm{PEC}}\end{array}\right)---\left(1\right)$

公式(1)中第一个式子为频域矢量波动方程，是周期结构有限元仿真中的主方程；其 中，Ω为周期结构的仿真区域空间范围，即为公式(1)的求解域，是矢性偏微分算子符 号，μ_r为求解域Ω中介质的相对磁导率，E为求解域Ω的电场强度矢量，k₀为自由空间波 数，ε_r为求解域Ω中介质的相对介电常数；

公式(1)中第二个式子为准周期边界条件，其中，Γ_PBC表示准周期边界，由主面及从 面组成，其中主面定义为沿着周期结构周期性的方向上仿真区域的初始端面，从面定义为沿 着周期结构周期性的方向上仿真区域的最后端面，主面与从面的距离为一个空间周期，为 边界的外法向单位矢量；E_m和E_s分别表示周期边界主面和从面上的电场；j为虚数单位符 号；β为相位常数；L为周期长度；βL即为一个空间周期对应的相移Φ，准周期边界 条件的物理意义是在周期边界从面上的电磁场和主面上的电磁场，相差一个复数相位系数 e^-jβL；

公式(1)中第三个式子为理想导体的电壁边界条件，其中，Γ_PEC表示电壁边界，理想 导体的电壁边界条件的物理意义是理想导体的切向电场为零；

周期边界Γ_PBC和电壁边界Γ_PEC组成了求解域Ω的外边界；

从周期结构内电磁场的边值问题，即从公式(1)出发，通过有限元法的标准变分原理得 到电磁场边值问题的泛函方程F(E)，即公式(2)：

$F\left(E\right)=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }[{(▿\times E)}^{*}\frac{1}{{\mu }_r}(▿\times E)-k_0^2{ϵ}_r{E}^{*}·E]\mathrm{d\Omega }---\left(2\right)$

公式(2)中，上标*表示对物理量取共轭，dΩ表示三维体积分的微元，使泛函方程即公 式(2)取极小值，并且满足公式(1)中的第二个方程的电场函数E即为周期结构内电磁场边 值问题即公式(1)的解。

进一步优选，所述步骤D中，剖分后的求解域被人为分割为多个三维四面体网格，从 而将连续的几何结构空间转化为离散的网格空间。

进一步优选，所述步骤E中，选择合适的基函数N_m，将公式(2)和公式(1)中第二个 方程中的电场E在所有网格内用基函数N_m展开，即

$E=\underset{m}{\Sigma }{x_m}^t{N}_m^t---\left(3\right)$

公式(3)中，下标m取值从0到M_T，M_T为网格中所有基函数的个数，上标t将电场展 开系数x_m和基函数N_m按照所在区域进行区分，t∈{I，M，S}，I表示基函数N_i在除周期 边界外的计算区域内，M表示基函数N_m在周期边界主面上，S表示基函数N_m在周期边界 从面上；

将所有网格内的电场E用基函数N_m展开后，代入泛函方程，即公式(2)，运用里兹方 法，并利用周期边界条件将展开系数用替代，得到周期结构有限元本征分析中的广 义本征值方程；

最后得到周期结构有限元本征分析中的广义本征值方程为：

$\mathrm{Ax}=\mathrm{\lambda Bx}=k_0^2\mathrm{Bx}---\left(4\right)$

公式(4)中，为广义本征值方程的本征值，k₀＝ω/c为自由空间波数，ω为角频率，c 为自由空间光速；x为广义本征值方程的本征向量，也即公式(3)中插值系数组成的向量，A 和B为大型稀疏M×M维有限元矩阵，M等于所采用基函数N_m的总数，有限元矩阵A和 B的每一项A_ij和B_ij可以分别由公式(5)和公式(6)计算可得：

$A_{\mathrm{ij}}={\int }_{\Omega }{W}_i^{*}(▿\times N_i)·\frac{1}{{\mu }_r}(▿\times N_j)W_j\mathrm{d\Omega }---\left(5\right)$

$B_{\mathrm{ij}}={\int }_{\Omega }{W}_j^{*}{N}_i·{ϵ}_r{N}_j{W}_j\mathrm{d\Omega }---\left(6\right)$

公式(5)和公式(6)中，N_i和N_i为插值基函数，dΩ表示三维体积分的微元，Ω为周期结 构的仿真区域空间范围，∫_Ω(·)dΩ表示在仿真区域空间范围内的体积分，W_i与W_j为周期边界 条件因子，如果插值基函数为从面上的基函数，则对应的周期边界条件因子W＝e^-jβL，否则 W＝1，其他符号的含义与公式(1)同；

从公式(5)和公式(6)可以知道，有限元矩阵A和B是相移Φ＝βL的函数，在不同 的几何参数下，有限元矩阵A和B，还是关于几何参数h的函数，公式(4)用下式来表示：

A(k，h)x(k，h)＝λ(k，h)B(k，h)x(k，h)    (7)

进一步优选，对公式(7)中的所有变量A、B、λ、x分别采用多维Taylor级数展开， 可得下式：

$\left(\begin{array}{c}A(k,h)=\underset{i=0}{\overset{M}{\Sigma }}{A}_{i0}{(k-k_0)}^i+\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{A}_{0j}{(h-h_0)}^j+\underset{i=1}{\Sigma }\underset{j=1}{\Sigma }{(k-k_0)}^i{(h-h_0)}^j\\ B(k,h)=\underset{i=0}{\overset{M}{\Sigma }}{B}_{i0}{(k-k_0)}^i+\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{B}_{0j}{(h-h_0)}^j+\underset{i=1}{\Sigma }\underset{j=1}{\Sigma }{B}_{\mathrm{ij}}{(k-k_0)}^i{(h-h_0)}^j\\ \lambda (k,h)=\underset{i=0}{\overset{M}{\Sigma }}{\lambda }_{i0}{(k-k_0)}^i+\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\lambda }_{0j}{(h-h_0)}^j+\underset{i=1}{\Sigma }\underset{j=1}{\Sigma }{\lambda }_{\mathrm{ij}}{(k-k_0)}^i{(h-h_0)}^j\\ x(k,h)=\underset{i=0}{\overset{M}{\Sigma }}{x}_{i0}{(k-k_0)}^i+\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{x}_{0j}{(h-h_0)}^j+\underset{i=1}{\Sigma }\underset{j=1}{\Sigma }{x}_{\mathrm{ij}}{(k-k_0)}^i{(h-h_0)}^j\end{array}\right)---\left(8\right)$

上式中的A_i0、A_0j、A_ij…，B_i0、B_0j、B_ij…，λ₁₀、λ_0j、λ_ij…，x_i0、x_0j、x_ij…表示采用Taylor 级数展开后的多项式的展开系数，指定相移本征分析时，k即为相移，h为引入的几何参数， 多个几何参数时情况类似，k₀、h₀即为展开相移点。

进一步优选，所述步骤G中，获得有限元矩阵和各几何参数的显式关系后，就可以建 立本征向量展开系数构成的子空间K矩阵，从而建立参数化降阶模型，从而实现微波管慢波 结构的快速多几何参数扫描本征分析，方法的过程如下：

将公式(8)代入至公式(7)中展开后对比(k-k₀)系数可以得到：

(A₀₀-λ₀₀B₀₀)x₁₀＝λ₁₀B₀₀x₀₀-(A₁₀-λ₀₀B₁₀)x₀₀    (9)

(A₀₀-λ₀₀B₀₀)x₂₀＝λ₂₀B₀₀x₀₀-(A₁₀-λ₀₀B₁₀)x₁₀-    (10)

-(A₂₀-λ₀₀B₂₀)x₀₀+λ₁₀(B₀₀x₁₀+B₁₀x₀₀)

                 ·

                 ·

                 ·

$(A_{00}-{\lambda }_{00}{B}_{00})x_{M0}={\lambda }_{M0}{B}_{00}{x}_{00}-\underset{i=1}{\overset{\min (2,M)}{\Sigma }}(A_{i0}-{\lambda }_{00}{B}_{i0})x_{(M-i)0}+$    (11)

$+\underset{i=1}{\overset{M-1}{\Sigma }}{\lambda }_{i0}·\underset{j=0}{\overset{\min (2,M-i)}{\Sigma }}{B}_{j0}{x}_{(M-i-j)0}$

同样的我们对比(h-h₀)的系数可以得到：

(A₀₀-λ₀₀B₀₀)x₀₁＝λ₀₁B₀₀x₀₀-(A₀₁-λ₀₀B₀₁)x₀₀    (12)

(A₀₀-λ₀₀B₀₀)x₀₂＝λ₀₂B₀₀x₀₀-(A₀₁-λ₀₀B₀₁)x₀₁-    (13)

-(A₀₂-λ₀₀B₀₂)x₀₀+λ₀₁(B₀₀x₀₁+B₀₁x₀₀)

                    ·

                    ·

                    ·

$(A_{00}-{\lambda }_{00}{B}_{00})x_{0N}={\lambda }_{0N}{B}_{00}{x}_{00}-\underset{i=1}{\overset{\min (2,N)}{\Sigma }}(A_{0i}-{\lambda }_{00}{B}_{0i})x_{0(N-i)}+$    (14)

$+\underset{i=1}{\overset{N-1}{\Sigma }}{\lambda }_{0i}·\underset{j=0}{\overset{\min (2,N-i)}{\Sigma }}{B}_{0j}{x}_{0(N-i-j)}$

在(k₀，h₀)点处求解广义本征方程(7)式，可以获得x₀₀以及λ₀₀，其中H是表示矩阵的Hermitian矩阵，将公式(12)-公式(14)的左边乘以就会使得公 式的左边变为0，这样由公式以及公式我们就可以计算得到λ₁₀和λ₀₁，再将λ₁₀和λ₀₁带回原式 中求解关于(A₀₀-λ₀₀B₀₀)的方程可以得到x₁₀以及x₀₁，按照相同的方式递归求解，最终可以 获得所有的λ_ij以及x_ij的值；

将展开系数的子空间K表示成

K＝[M^k，M^h，M^X]    (15)

公式(15)中是(k-k₀)的展开系数，M^h＝[x₀₁，x₀₂，…，x_0N]是(h-h₀)对应的展开系数， M^X＝[x₁₁，…，x_ij，…]表示两者相乘的展开系数。

进一步优选，所述步骤H中，随着Taylor级数阶数N的增加，K矩阵变成高度病态， 因此对K矩阵进行奇异值分解可以获得正交归一化矩阵Q，将(7)式两端同时乘以Q的厄 密矩阵，可以得到关于相移的降阶模型

$\hat{A}(k,h)\hat{x}(k,h)=\lambda (k,h)\hat{B}(k,h)---\left(16\right)$

其中

$\hat{A}(k,h)=Q^{H}A(k,h)Q$

$\hat{B}(k.h)=Q^{H}B(k,h)Q---\left(17\right)$

$\hat{x}(k,h)=Q^{H}x(k,h)Q$

由于广义本征值方程(16)式的维数取决于Taylor级数的阶数N，和原方程(7)式的维数 相比较非常小，因此一旦(16)式建立，就可以在改变相移点u下快速获得相应的本征值以 及本征向量了，实现微波管慢波结构的快速多几何参数扫描本征分析。

进一步优选，所述步骤I中，在指定的相移范围内取一个确定的相位值u＝Φ＝βL，在指 定的几何参数范围内取一个h，代入参数化降阶模型即公式(16)并求解该广义本征方程， 可得本征值λ(u)和本征向量，利用公式(18)(19)得到周期结构在指定相移下的波数k₀和对应的电场基函数插值系数组成的本征向量x，

$k_0=\sqrt{\lambda \left(u\right)}---\left(18\right)$

$x=Q\hat{x}\left(u\right)---\left(19\right)$

根据指定相移对应的波数k₀即可获得角频率ω，根据对应的电场基函数插值系数组 成的本征向量x，利用公式(3)得到电场，最后通过后处理可以进一步得到周期结构 的色散特性、耦合阻抗特性以及衰减特性。

与现有技术相比，本发明的有益效果：

利用本发明提出的基于相移降阶模型的周期结构的三维电磁场仿真模拟方法可以在几 个几何参数点下，对慢波结构进行有限元本征分析，就能快速精确地获得慢波结构在多个几 何参数(如螺旋线慢波结构的螺距、螺旋线内径、夹持杆宽度等)变化范围内的全部高频参 数曲线。

附图说明

图1是本发明基于参数化降阶模型周期结构的三维电磁场仿真模拟方法的流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例来详细描述本发明的技术方案。

参照图1，一种基于参数化降阶模型周期结构的三维电磁场仿真模拟方法，包括以下步 骤：

A.选取特定的具有周期特性的微波管高频电路；

选取特定的具有周期特性的微波管高频电路，如螺旋线高频电路、耦合腔高频电路、折 叠波导高频电路等。

B.从步骤A中选取的高频电路中截取一个周期长度的结构进行建模，建立该周期长度 的结构对应的几何结构模型。

根据高频电路的周期性，通常仅建立一个空间周期几何结构，并引入周期边界条件来仿 真整个周期结构高频电路的高频特性。具体的结构建模是电磁场数值计算中的一种公知过 程，因此本步骤不再详细描述。

C.建立周期结构内的电磁场边值问题，通过有限元法的标准变分原理得到电磁场边值 问题的泛函方程。

首先，根据麦克斯韦方程组与周期结构的边界条件与导体属性得到周期结构内电磁 场的边值问题，如下：

$\left(\begin{array}{cc}▿\times {\mu }_r^{-1}▿\times E-k_0^2{ϵ}_{r}E=0& \mathrm{in\Omega }\\ \hat{n}\times (E_s\times \hat{n})=\hat{n}\times {(E_m\times \hat{n})e}^{-\mathrm{j\beta L}}& \mathrm{on}{\Gamma }_{\mathrm{PBC}}\\ \hat{n}\times E=0& \mathrm{on}{\Gamma }_{\mathrm{PEC}}\end{array}\right)---\left(1\right)$

公式(1)中第一个式子为频域矢量波动方程，是周期结构有限元仿真中的主方程；其 中，Ω为周期结构的仿真区域空间范围，即为公式(1)的求解域。是矢性偏微分算子符 号，μ_r为求解域Ω中介质的相对磁导率，E为求解域Ω的电场强度矢量，k₀为自由空间波 数，ε_r为求解域Ω中介质的相对介电常数。

公式(1)中第二个式子为准周期边界条件，其中，Γ_PBC表示准周期边界，由主面及从 面组成，其中主面定义为沿着周期结构周期性的方向上仿真区域的初始端面，从面定义为沿 着周期结构周期性的方向上仿真区域的最后端面。主面与从面的距离为一个空间周期。为 边界的外法向单位矢量；E_m和E_s分别表示周期边界主面和从面上的电场；j为虚数单位符 号；β为相位常数；L为周期长度；βL即为一个空间周期对应的相移Φ。准周期边界 条件的物理意义是在周期边界从面上的电磁场和主面上的电磁场，相差一个复数相位系数 e^-jβL；

公式(1)中第三个式子为理想导体的电壁边界条件，其中，Γ_PEC表示电壁边界。 理想导体的电壁边界条件的物理意义是理想导体的切向电场为零。

周期边界Γ_PBC和电壁边界Γ_PEC组成了求解域Ω的外边界；

从周期结构内电磁场的边值问题，即从公式(1)出发，通过有限元法的标准变分原理得 到电磁场边值问题的泛函方程F(E)，即公式(2)：

$F\left(E\right)=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }[{(▿\times E)}^{*}\frac{1}{{\mu }_r}(▿\times E)-k_0^2{ϵ}_r{E}^{*}·E]\mathrm{d\Omega }---\left(2\right)$

公式(2)中，上标*表示对物理量取共轭，dΩ表示三维体积分的微元。使泛函方程即公 式(2)取极小值，并且满足公式(1)中的第二个方程的电场函数E即为周期结构内电磁场边 值问题即公式(1)的解。

D.采用四面体网格剖分求解域，并保证周期边界主面和从面上的网格匹配。

采用四面体网格剖分求解域是有限元方法中的一种公知过程，因此本步骤不再详细描 述。剖分后的求解域被人为分割为多个三维四面体网格，从而将连续的几何结构空间转化为 离散的网格空间。

E.选择基函数，将电场强度矢量在所有网格内用基函数展开，并运用里兹方法得到周 期结构有限元本征分析中的广义本征值方程。

选择合适的基函数N_m，将公式(2)和公式(1)中第二个方程中的电场E在所有网格内 用基函数N_m展开，即

$E=\underset{m}{\Sigma }{x_m}^t{N}_m^t---\left(3\right)$

公式(3)中，下标m取值从0到M_T，M_T为网格中所有基函数的个数。上标t将电场展 开系数x_m和基函数N_m按照所在区域进行区分。t∈{I，M，S}，I表示基函数N_i在除周期 边界外的计算区域内，M表示基函数N_m在周期边界主面上，S表示基函数N_m在周期边界 从面上。

将所有网格内的电场E用基函数N_m展开后，代入泛函方程，即公式(2)，运用里兹方 法，并利用周期边界条件将展开系数用替代，得到周期结构有限元本征分析中的广 义本征值方程。该过程为电磁场有限元分析中众所周知的过程，这里不再赘述。

最后得到周期结构有限元本征分析中的广义本征值方程为：

$\mathrm{Ax}=\mathrm{\lambda Bx}=k_0^2\mathrm{Bx}---\left(4\right)$

公式(4)中，为广义本征值方程的本征值，k₀＝ω/c为自由空间波数，ω为角频率，c 为自由空间光速；x为广义本征值方程的本征向量，也即公式(3)中插值系数组成的向量。A 和B为大型稀疏M×M维有限元矩阵，M等于所采用基函数N_m的总数。有限元矩阵A和 B的每一项A_ij和B_ij可以分别由公式(5)和公式(6)计算可得：

$A_{\mathrm{ij}}={\int }_{\Omega }{W}_i^{*}(▿\times N_i)·\frac{1}{{\mu }_r}(▿\times N_j)W_j\mathrm{d\Omega }---\left(5\right)$

$B_{\mathrm{ij}}={\int }_{\Omega }{W}_j^{*}{N}_i·{ϵ}_r{N}_j{W}_j\mathrm{d\Omega }---\left(6\right)$

公式(5)和公式(6)中，N_i和N_i为插值基函数，dΩ表示三维体积分的微元，Ω为周期结 构的仿真区域空间范围，∫_Ω(·)dΩ表示在仿真区域空间范围内的体积分。W_i与W_j为周期边界 条件因子。如果插值基函数为从面上的基函数，则对应的周期边界条件因子W＝e^-jβL，否则 W＝1。其他符号的含义与公式(1)同。

从公式(5)和公式(6)可以知道，有限元矩阵A和B是相移Φ＝βL的函数。在不同 的几何参数下，有限元矩阵A和B，还是关于几何参数h的函数。这样公式(4)可以用下 式来表示：

A(k，h)x(k，h)＝λ(k，h)B(k，h)x(k，h)    (7)

F.将步骤E所得到的广义本征值方程中的所有变量用Taylor级数展开。

对公式(7)中的所有变量A、B、λ、x分别采用多维Taylor级数展开，可得下式：

$\left(\begin{array}{c}A(k,h)=\underset{i=0}{\overset{M}{\Sigma }}{A}_{i0}{(k-k_0)}^i+\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{A}_{0j}{(h-h_0)}^j+\underset{i=1}{\Sigma }\underset{j=1}{\Sigma }{(k-k_0)}^i{(h-h_0)}^j\\ B(k,h)=\underset{i=0}{\overset{M}{\Sigma }}{B}_{i0}{(k-k_0)}^i+\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{B}_{0j}{(h-h_0)}^j+\underset{i=1}{\Sigma }\underset{j=1}{\Sigma }{B}_{\mathrm{ij}}{(k-k_0)}^i{(h-h_0)}^j\\ \lambda (k,h)=\underset{i=0}{\overset{M}{\Sigma }}{\lambda }_{i0}{(k-k_0)}^i+\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\lambda }_{0j}{(h-h_0)}^j+\underset{i=1}{\Sigma }\underset{j=1}{\Sigma }{\lambda }_{\mathrm{ij}}{(k-k_0)}^i{(h-h_0)}^j\\ x(k,h)=\underset{i=0}{\overset{M}{\Sigma }}{x}_{i0}{(k-k_0)}^i+\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{x}_{0j}{(h-h_0)}^j+\underset{i=1}{\Sigma }\underset{j=1}{\Sigma }{x}_{\mathrm{ij}}{(k-k_0)}^i{(h-h_0)}^j\end{array}\right)---\left(8\right)$

上式中的A_i0、A_0j、A_ij…，B_i0、B_0j、B_ij…，λ_i0、λ_0j、λ_ij…，x_i0、x_0j、x_ij…表示采用Taylor 级数展开后的多项式的展开系数，指定相移本征分析时，k即为相移，h为引入的几何参数， 多个几何参数时情况类似，k₀、h₀即为展开相移点。

G.获得步骤F中本征向量的Taylor展开系数构成的子空间K。

获得有限元矩阵和各几何参数的显式关系后，就可以建立本征向量展开系数构成的子空 间K矩阵，从而建立参数化降阶模型，从而实现微波管慢波结构的快速多几何参数扫描本征 分析。方法的过程如下：

将公式(8)代入至公式(7)中展开后对比(k-k₀)系数可以得到：

(A₀₀-λ₀₀B₀₀)x₁₀＝λ₁₀B₀₀x₀₀-(A₁₀-λ₀₀B₁₀)x₀₀    (9)

(A₀₀-λ₀₀B₀₀)x₂₀＝λ₂₀B₀₀x₀₀-(A₁₀-λ₀₀B₁₀)x₁₀-    (10)

-(A₂₀-λ₀₀B₂₀)x₀₀+λ₁₀(B₀₀x₁₀+B₁₀x₀₀)

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$(A_{00}-{\lambda }_{00}{B}_{00})x_{M0}={\lambda }_{M0}{B}_{00}{x}_{00}-\underset{i=1}{\overset{\min (2,M)}{\Sigma }}(A_{i0}-{\lambda }_{00}{B}_{i0})x_{(M-i)0}+$    (11)

$+\underset{i=1}{\overset{M-1}{\Sigma }}{\lambda }_{i0}·\underset{j=0}{\overset{\min (2,M-i)}{\Sigma }}{B}_{j0}{x}_{(M-i-j)0}$

同样的我们对比(h-h₀)的系数可以得到：

(A₀₀-λ₀₀B₀₀)x₀₁＝λ₀₁B₀₀x₀₀-(A₀₁-λ₀₀B₀₁)x₀₀    (12)

(A₀₀-λ₀₀B₀₀)x₀₂＝λ₀₂B₀₀x₀₀-(A₀₁-λ₀₀B₀₁)x₀₁-    (13)

-(A₀₂-λ₀₀B₀₂)x₀₀+λ₀₁(B₀₀x₀₁+B₀₁x₀₀)                              ·

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$(A_{00}-{\lambda }_{00}{B}_{00})x_{0N}={\lambda }_{0N}{B}_{00}{x}_{00}-\underset{i=1}{\overset{\min (2,N)}{\Sigma }}(A_{0i}-{\lambda }_{00}{B}_{0i})x_{0(N-i)}+$    (14)

$+\underset{i=1}{\overset{N-1}{\Sigma }}{\lambda }_{0i}·\underset{j=0}{\overset{\min (2,N-i)}{\Sigma }}{B}_{0j}{x}_{0(N-i-j)}$

在(k₀，h₀)点处求解广义本征方程(7)式，可以获得x₀₀以及λ₀₀。我们可以发现 其中H是表示矩阵的Hermitian矩阵。因此将公式(12)-公式(14) 的左边乘以就会使得公式的左边变为0，这样由公式以及公式我们就可以计算得到λ₁₀和 λ₀₁，再将λ₁₀和λ₀₁带回原式中求解关于(A₀₀-λ₀₀B₀₀)的方程可以得到x₁₀以及x₀₁。按照相同 的方式递归求解，最终可以获得所有的λ_ij以及x_ij的值。

我们将展开系数的子空间K表示成

K＝[M^k，M^h，M^X]    (15)

公式(15)中是(k-k₀)的展开系数，M^h＝[x₀₁，x₀₂，…，x_0N]是(h-h₀)对应的展开系数， M^X＝[x₁₁，…，x_ij，…]表示两者相乘的展开系数。

H.建立有限元本征分析中的参数化降阶模型；

随着Taylor级数阶数N的增加，K矩阵变成高度病态，因此对K矩阵进行奇异值分解 可以获得正交归一化矩阵Q。将(7)式两端同时乘以Q的厄密矩阵，可以得到关于相移的 降阶模型

$\hat{A}(k,h)\hat{x}(k,h)=\lambda (k,h)\hat{B}(k,h)---\left(16\right)$

其中

$\hat{A}(k,h)=Q^{H}A(k,h)Q$

$\hat{B}(k.h)=Q^{H}B(k,h)Q---\left(17\right)$

$\hat{x}(k,h)=Q^{H}x(k,h)Q$

由于广义本征值方程(16)式的维数取决于Taylor级数的阶数N，和原方程(7)式的维数 相比较非常小，因此一旦(16)式建立，就可以在改变相移点u下快速获得相应的本征值以 及本征向量了，实现微波管慢波结构的快速多几何参数扫描本征分析。

I.利用步骤G中获得的周期结构的参数化降阶模型，可以快速计算周期结构在给定相 移范围内的波数k₀以及对应的电场基函数插值系数组成的本征向量x，通过进一步后处理可 得周期结构的色散特性、耦合阻抗特性以及衰减特性。

在指定的相移范围内取一个确定的相位值u＝Φ＝βL，在指定的几何参数范围内取一个 h，代入参数化降阶模型即公式(16)并求解该广义本征方程，可得本征值λ(u)和本征向量 利用公式(18)(19)得到周期结构在指定相移下的波数k₀和对应的电场基函数插值 系数组成的本征向量x。

$k_0=\sqrt{\lambda \left(u\right)}---\left(18\right)$

$x=Q\hat{x}\left(u\right)---\left(19\right)$

根据指定相移对应的波数k₀即可获得角频率ω。根据对应的电场基函数插值系数组成的 本征向量x，利用公式(3)得到电场。最后通过后处理可以进一步得到周期结构的色散特性、 耦合阻抗特性以及衰减特性。该过程为本领域的公知过程，因此不再详细描述。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，本发明的保护范围不限于此，任何熟悉本 技术领域的技术人员在本发明披露的技术范围内，可显而易见地得到的技术方案的简单变化 或等效替换均落入本发明的保护范围内。