基于平衡正交多小波变换的模糊神经网络盲均衡方法

具体实施方式

下面结合附图对发明的技术方案进行详细说明：

1 模糊神经网络盲均衡方法

模糊规则的提出

初始收敛速度、时变跟踪能力和收敛精度是衡量方法优越的三个重要技术指标(见文献[6]：吕振肃，黄石.一种改进的变步长ELMS算法[J].电子与信息学报，2005，27(10)：1524-1536；文献[7]：罗小东，贾振红，王强.一种新的变步长LMS自适应滤波算法[J].电子学报，2006，34(6)：1123-1126)，在实验中我们通常通过观察均方误差曲线来评价一个方法的性能，如图1所示。

图1(a)为一种方法在不同步长下的均方误差(MSE)曲线图，由图可知，当迭代步长为μ₁时，收敛速度较快而收敛后的均方误差较大；当迭代步长为μ₂时，结果则相反。由盲均衡理论可知，μ₁＞μ₂。为此，我们希望得到一种方法，即同时拥有较快的收敛速度和较小的稳态误差，其均方误差曲线如图1中虚线所示。分析如下，当采用步长μ₁时，由于步长较大，故方法的调整速度快，在点A1处的权系数已到达最优值W_OP1，此后的权值将在这一最优值附近来回摆动，但大步长的调整能力较差，W_OP1离理想的最优权值W_OP较远，故此时的稳态误差比较大。当采用步长μ₂时，由于步长较小，故方法的调整速度慢，在点B1处的权系数才到达最优值W_OP2，但小步长的误调能力强，即W_OP2更接近理想的最优权值W_OP，故此时的稳态误差比较小。因此，为了得到虚线所示的均方误差曲线，在调整的初始阶段应采用大的步长以加快收敛速度，在调整的末期应采用小的步长以减少稳态误差。如图1(b)所示，MSE_B＞MSE_A，说明方法在由点A向点B调整的过程中步长过大，曲线有发散的趋势；为此，接下来的调整中(即点B向点C调整)应该减小步长，步长减少的量度由MSE_B决定，若MSE_B比较大，则应采用小的步长，即Δμ变化较大，反之，则Δμ变化较小。在点B向点C调整的过程中，MSE_C＜MSE_B，说明方法趋于收敛，故接下来的调整中可以增加步长，以加快方法的收敛速度，步长的增加量由MSE_C决定，若MSE_C较小则Δμ变化较小，反之，则Δμ变化较大。在点E向点F调整的过程中，由于MSE_E＝MSE_F，说明方法趋于稳定，故步长不变化，即Δμ为零。在步长的调整过程中，为了避免步长因为减小过大而出现负值情况，应设置一阈值ε(ε＞0)。基于以上分析，我们采用ΔMSE和MSE来控制算法的迭代步长，于是有以下规则：

规则1：如果ΔMSE为正，且MSE大，则Δμ负大；

规则2：如果ΔMSE为正，且MSE中，则Δμ负中；

规则3：如果ΔMSE为正，且MSE小，则Δμ零；

规则4：如果ΔMSE为零，且MSE大，则Δμ零；

规则5：如果ΔMSE为零，且MSE中，则Δμ零；

规则6：如果ΔMSE为零，且MSE小，则Δμ零；

规则7：如果ΔMSE为负，且MSE大，则Δμ正大；

规则8：如果ΔMSE为负，且MSE中，则Δμ正中；

规则9：如果ΔMSE为负，且MSE小，则Δμ零；

在以上规则中ΔMSE＝MSE(n)-MSE(n-1)，将ΔMSE分为正、负和零三个等级，将MSE分为大、中和小三个等级，当然等级划分的越细，其步长的调整能力越强，但由于是模糊控制，就没有做更细的划分。将ΔMSE和MSE分别由高斯隶属函数表示，如图2所示

模糊神经网络控制器

模糊神经网络控制器的结构如图3所示，模糊神经网络控制器各层的处理过程如下：

第一层：为输入层，ΔMSE和MSE做为步长的控制量输入。

u1(1)＝ΔMSE  ，u1(2)＝MSE；O1(i，j)＝u1(i)  i＝1，2  j＝1，2，3     (1)

式中，u1表示第一层输入，O1第一层输出，以下同。

第二层：为模糊化层，将ΔMSE和MSE分别分成三个模糊等级，其为

$u2(i,j)=O1(i,j);O2(i,j)=\exp [-\frac{{\left((u2(i,j)-m(i,j)\right)}^2}{q(i,j)}]---\left(2\right)$

式中，m(i，j)和q(i，j)分别代表对应于第i个网络输入和第j个模糊域的高斯函数中心和宽带，i＝1，2  j＝1，2，3。为了计算方便，在本发明采用固定的中心和宽度。

第三层：也称为求“与”层，此层节点的个数为各输入变量的模糊集合数之积(即规则数)，该层的每个节点代表一个规则的前部分，其中

               O3(1)＝O2(1，1)*O2(2，1)O3(2)＝O2(1，1)*O2(2，2)

               O3(3)＝O2(1，1)*O2(2，3)O3(4)＝O2(1，2)*O2(2，1)

               O3(5)＝O2(1，2)*O2(2，2)O3(6)＝O2(1，2)*O2(2，3)

               O3(7)＝O2(1，3)*O2(2，1)O3(8)＝O2(1，3)*O2(2，2)

               O3(9)＝O2(1，3)*O2(2，3)                                (3)

第四层：为选择层，即从第三层的输出中选择一路最大的值作为该层的输出

O4＝max(O3(i))                                                         (4)

第五层：归一化层

O5＝O4*α(i)＝max(O3(i))*α(i)                                         (5)

式中，α(i)为控制量，主要用来调整该层的输出，完成规则的后部分。

第六层：为输出层

Δμ＝O6＝O5*MSE(n)                                                    (6)

该层将MSE(n)引入使得步长的改变量与均方误差相对应。

方法描述

如上分析，利用神经网络结构和模糊推理理论构造了一种盲均衡控制器，该控制器具有自动调节常规恒模方法迭代步长的功能，提高了方法的性能，迭代过程为

$z\left(n\right)=w\left(n\right)\otimes x\left(n\right)---\left(7\right)$

μ(n+1)＝μ(n)+Δμ                                                    (8)

w(n+1)＝w(n)+2μ(n+1)e(n)x(n)z^*(n)                                     (9)

e(n)＝R₂-|z(n)|²                                                       (10)

R₂＝E(|a(n)|⁴)/E(|a(n)|²)                                              (11)

式中，表示卷积，x(n)＝[x(n)，x(n-1)，…，x(n-N+1)]^T为盲均衡器的输入信号，N为均衡器长度，T表示转置。w(n)＝[w(n)，w(n-1)，…，w(n-N+1)]为均衡器的权系数。z^*(n)为均衡器输出信号的z(n)的共轭。a(n)为发射信号。

2 基于平衡正交多小波变换的模糊神经网络盲均衡方法

均衡器的多小波表示

多小波是单小波的推广，其基本思想是将标量小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩展为由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由度。根据多小波理论(见文献[8]：王军锋.小波和神经网络在自适应均衡中的算法研究[D].西安：西安电子科技大学理学院，2003.)，对FIR均衡器c(n)，可由一族正交多小波函数和多尺度函数来表示，

即：

式中，r为多小波的维数，P表示多小波分解的层数，k_p＝N/2^p，N为均衡器长度，表示尺度参数为p、平移参数为k的第l个小波基函数，表示尺度参数为J、平移参数为k的第l个尺度函数，这样就可以用多小波表示均衡器。此时均衡器的输出z(n)为

$z\left(n\right)=\underset{q=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{c}_q\left(n\right)x(n-q)$

$=\underset{l=1}{\overset{r}{\Sigma }}\{\underset{p=1}{\overset{l}{\Sigma }}\underset{k=0}{\overset{k_p-1}{\Sigma }}{d}_{p,k}^l\left(n\right)r_{p,k}^{w,l}\left(n\right)+\underset{k=0}{\overset{k_J-1}{\Sigma }}{v}_{J,k}^l\left(n\right)r_{J,k}^{v,l}\left(n\right)\}---\left(13\right)$

式中

平衡正交多小波

由式(14)可知，用多小波表示均衡器的实质是将输入信号进行正交多小波变换，但其在实际应用过程中必须先对信号进行预处理，为了避免这一过程，通常需对多小波进行平衡变换(见文献[9]：LIAN J A.Armlets and Balanced Multiwavelets：Flipping Filter Construction[J].IEEE Trans.Signal Process，2005，5(53)：1754-1767.)。现对GHM多小波作一阶平衡处理，只要选择正交酉矩阵(文献[8]：王军锋.小波和神经网络在自适应均衡中的算法研究[D].西安：西安电子科技大学理学院，2003.)

$U=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)---\left(15\right)$

则平衡后新的多低通滤波器为而多高通滤波器为根据Mallat算法，可将长度为m的离散信号x＝[x₀，x₁，…，x_m-1]^T分解为图4所示的塔形结构。

图中，P_J和Q_J分别为由平衡后新的多低通滤波器和多高通滤波器的系数所构成的矩阵，v_p和d_p分别为输入信号x经过p层分解后的低通系数和高通系数，则均衡器输入信号经平衡正交多小波分解后的向量为

y＝[d₁；d₂；…；d_J；v_J]＝[Q₁；Q₂P₁；Q₂P₁P₀；…；Q_JP_J-1…P₂P₁；P_JP_J-1…P₂P₁]x     (16)

故得到平衡正交多小波变换矩阵

V＝[Q₁；Q₂P₁；Q₂P₁P₀；…；Q_JP_J-1…P₂P₁；

方法描述

文献[8](见文献[8]：王军锋.小波和神经网络在自适应均衡中的算法研究[D].西安：西安电子科技大学理学院，2003.)指出，多小波同时拥有对称、正交、有限支撑等性质，并且由于多小波是由多个尺度函数生成的，在任意尺度上支集无重叠，因此能够有效克服边界效应，矩阵经多小波变换后所得的稀疏矩阵更加规整，可以大大减少计算误差。为此，将多小波变换引入到神经网络盲均衡算法中，提出了基于平衡正交多小波变换的模糊神经网络盲均衡算法(MWT-FNN-BEA)，方法原理如图5所示。

图中a(n)为发射信号，v(n)加性高斯白噪声。

MWT-FNN-BEA的迭代公式为：

y(n)＝Vx(n)                                                          (18)

$z\left(n\right)=w\left(n\right)\otimes y\left(n\right)---\left(19\right)$

w(n+1)＝w(n)+μ(n+1)R^-1(n)e(n)y(n)z^*(n)                              (20)

式中，R^-1(n)为归一化能量构成的对角阵，即且

${\sigma }_{J,k,m}^2(n+1)={\mathrm{\beta \sigma }}_{J,k,m}^2\left(n\right)+(1-\beta ){\left|r_{j,k}^m\left(n\right)\right|}^2---\left(21\right)$

式中，β为迭代系数，表示尺度参数为p、平移参数为k的第m维多小波系数，也就是式(18)中矩阵y(n)中的元素。由于该方法兼具正交多小波变换与FNN-BEA的优点，因而性能优于CMA和FNN-BEA。

3 性能分析

收敛性能分析

FNN-BEA利用了神经网络的自动调节功能和模糊理论对不确定信息的处理能力，根据事先设定的规则对恒模方法中的步长进行调整，在迭代的初始阶段，由于方法未稳定，此时权系数离最优权值比较远，采用大的步长对其进行调整，以加快收敛速度，随着迭代的进行，权值向其最优值逼近，此时采用小的步长对其进行调整，以减小稳态误差。故FNN-BEA的性能要优于CMA，而MWT-FNN-BEA在吸收了FNN-BEA优点的基础上，进一步引进了正交多小波，利用正交多小波变换对信号的去相关性，以提高方法的收敛速度，同时在信号经过正交多小波变换后，又在频域中对其进行了能量归一化处理，使得方法的性能进一步提高。故与FNN-BEA和CMA相比，MWT-FNN-BEA的性能最优。

计算复杂度分析

与FNN-BEA和CMA相比，MWT-FNN-BEA在每次权系数迭代前都要对均衡器输入信号x(n)进行正交多小波变换。设x(n)的长度为N，则由式(18)可以计算出x(n)的正交多小波变换，由多小波理论知，正交多小波变换矩阵V为N×N正交阵，因而计算式(18)最多需N×N次乘法和(N-1)×N次加法。考虑实际中V为一稀疏矩阵，假设V中每一行的非零元素数目为L(L≤N)，则计算式(18)所需要的乘法次数是LN次，加法次数为(L-1)×N次。故与FNN-BEA和CMA相比，MWT-FNN-BEA完成一次权系数更新，增加了LN次乘法和(L-1)×N次加法。

实施例：

为了比较CMA、FNN-BEA和MWT-FNN-BEA三种方法的性能，采用两种水声信道进行了仿真实验。

信道1 最大相位水声信道

h＝[0.3132 -0.104 0.8908 0.3134]

信道2 混合相位水声信道

h＝[-0.35 0 0 1]

实验中，发射信号为16-QAM，输入信噪比为25dB，均衡器的长度为16，平均功率初始化为4，其它参数如表1所示。

表1仿真参数的设置

图6和图7是三种方法在两个信道下的仿真结果图，从图中的均方误差曲线可以看出，FNN-BEA的性能优于CMA，而MWT-FNN-BEA性能最优，其不仅具有较快的收敛速度，而且具有较小的稳态误差，并且FNN-BEA对应的均衡器输出星座图也最清晰、集中，均衡效果最好。图中同时给出了三种方法在不同信噪比下的均方根误差曲线，从中可以看出，随着信噪比的增加三种算法的均方根误差不断减小，而MWT-FNN-BEA的均方根误差减小的最快，且在同一信噪比下，其均方根误差也最小。因此，与CMA和FNN-BEA相比，MWT-FNN-BEA的抗干扰性能最好。