平头立铣刀铣削过程铣削力建模方法

技术领域

本发明涉及一种铣削过程铣削力建模方法，特别是涉及一种平头立铣刀铣削过程 铣削力建模方法。

背景技术

文献1“W.A.Kline，R.E.DeVor，J.R.Lindberg，The prediction of cutting forces in end  milling with application to cornering cuts，International Journal of Machine Tool Design and  Research，22(1982)7-22.”公开了一种适用于平头立铣刀的集成铣削力模型，该模型将 侧刃的剪切效应和犁切效应等效为一个虚拟的剪切模型，用一个铣削力系数来建立铣 削力与切削工艺几何参数的关联关系，同时该模型忽略了底刃的切削效应。

文献2“E.Budak，Y.Altintas，E.J.A.Armarego，Prediction of milling force coefficients  from orthogonal cutting data，Journal of Manufacturing Science and  Engineering-Transactions of the ASME 118(1996)216-224.”公开了一种适用于平头立 铣刀的二元铣削力模型，该模型将侧刃的剪切效应和犁切效应独立考虑，分别用两个 独立的系数来建立剪切效应和犁切效应与工艺几何参数的对应关系，该模型也忽略了 底刃的切削效应。

文献3“M.Wan，W.H.Zhang，Y.Yang，Phase width analysis of cutting forces  considering bottom edge cutting and cutter runout calibration in flat end milling of titanium  alloy，Journal of Materials Processing Technology 211(2011)1852-1863.”公开了一种适 用于平头立铣刀且同时考虑底刃和侧刃切削效应的切削力模型，但是该模型也是将侧 刃的剪切效应和犁切效应等效为一个虚拟的剪切模型，分别用两个独立的系数来建立 侧刃切削效应和底刃切削效应与工艺几何参数的对应关系。

以上文献的典型特点是：无法揭示侧刃剪切、侧刃犁切以及底刃切削这三种切削 效应对切削力的独立作用机制。

发明内容

为了克服现有方法在进行平头立铣刀铣削力建模时，不能独立揭示侧刃的剪切效 应、侧刃的犁切效应以及底刃的切削效应的不足，本发明提供一种平头立铣刀铣削过 程铣削力建模方法。该方法通过常值铣削力系数建立三种切削机制和工艺几何参数的 关联关系，并采用最小二乘法即可实现铣削力系数的标定，相比现有技术简化了铣削 力系数的标定流程；既考虑了侧刃参与切削时的剪切效应和犁切效应对铣削力的影响， 也考虑了底刃参与切削时的切削效应对铣削力的影响，可以克服现有技术不能独立揭 示侧刃剪切效应、侧刃犁切效应以及底刃切削效应这三种切削机制的不足。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种平头立铣刀铣削过程铣削力建 模方法，其特点是包括以下步骤：

(1)选定铣刀参数：铣刀刀具半径R、螺旋角β、刀具齿数N_f；铣削方式，顺 铣；设定切削参数：刀具主轴转速，单齿进给量，轴向切削深度Rz，径向切削深度 Rr；沿轴向将铣刀等分为N个梁单元，通过下式计算t时刻因侧刃剪切效应作用在第 i个刀齿上第j个侧刃单元上的切向铣削力F_{T，F，i，j}(t)和径向铣削力F_{R，F，i，j}(t)：

F_{T，Fs，i，j}(t)＝K_T，Fsh_F，i，j(t)w_i，j(t)

F_{R，Fs，i，j}(t)＝K_R，Fsh_F，i，j(t)w_i，j(t)

式中，K_T，Fs表示对应于侧刃剪切效应的切向铣削力系数，K_R，Fs表示对应于侧刃剪切效 应的径向铣削力系数，w_i，j(t)表示对应于第i个刀齿上第j个侧刃单元的轴向高度， h_F，i，j(t)表示在t时刻对应于第i个刀齿上第j个侧刃单元的瞬时未变形切屑厚度。

(2)根据步骤(1)得到的计算式，通过下式计算因剪切效应作用在侧刃上的铣 削合力：

$F_{X,\mathrm{Fs}}\left(t\right)=\underset{i,j}{\Sigma }[-F_{T,\mathrm{Fs},i,j}\left(t\right)\cos {\theta }_{i,j}\left(t\right)-F_{R,\mathrm{Fs},i,j}\left(t\right)\sin {\theta }_{i,j}\left(t\right)]$

$F_{Y,\mathrm{Fs}}\left(t\right)=\underset{i,j}{\Sigma }[F_{T,\mathrm{Fs},i,j}\left(t\right)\sin {\theta }_{i,j}\left(t\right)-F_{R,\mathrm{Fs},i,j}\left(t\right)\cos {\theta }_{i,j}\left(t\right)]$

式中，θ_i，j(t)是刀具旋转角度处与第i个刀齿上第j个侧刃单元对应的切削角度， 被定义为从Y向顺时针到第i个刀齿上第j个侧刃单元的中点所转过的角度。

(3)计算t时刻因侧刃犁切效应作用在第i个刀齿上第j个侧刃单元上的切向铣 削力F_{T，Fp，i，j}(t)和径向铣削力F_{R，Fp，i，j}(t)：

F_{T，Fp，i，j}(t)＝K_T，Fpw_i，j(t)

F_{R，Fp，i，j}(t)＝K_R，Fpw_i，j(t)

式中，K_T，Fp是对应于侧刃犁切效应的切向铣削力系数，K_R，Fp是对应于侧刃犁切效应的 径向铣削力系数。

(4)根据步骤(3)得到的计算式，通过下式计算因犁切效应作用在侧刃上的铣 削合力：

$F_{X,\mathrm{Fp}}\left(t\right)=\underset{i,j}{\Sigma }[-F_{T,\mathrm{Fp},i,j}\left(t\right)\cos {\theta }_{i,j}\left(t\right)-F_{R,\mathrm{Fp},i,j}\left(t\right)\sin {\theta }_{i,j}\left(t\right)]$

$F_{Y,\mathrm{Fp}}\left(t\right)=\underset{i,j}{\Sigma }[F_{T,\mathrm{Fp},i,j}\left(t\right)\sin {\theta }_{i,j}\left(t\right)-F_{R,\mathrm{Fp},i,j}\left(t\right)\cos {\theta }_{i,j}\left(t\right)]$

(5)计算t时刻作用在底刃上的径向铣削力F_T，B，i(t)和切向铣削力F_R，B，i(t)

F_T，B，i(t)＝K_T，Bb_i(t)

F_R，B，i(t)＝K_R，Bb_i(t)

式中，K_T，B是对应于底刃切削效应的切向铣削力系数，K_R，B是对应于底刃切削效应的 径向铣削力系数，b_i(t)是与第i个底刃对应的切屑宽度。

(6)将底刃上的铣削力转化到X和Y方向

F_X，B(t)＝-F_T，B，i(t)cosθ_i，0(t)-F_R，B，i(t)sinθ_i，0(t)

F_Y，B(t)＝F_T，B，i(t)sinθ_i，0(t)-F_R，B，i(t)cosθ_i，0(t)

式中，θ_i，0(t)是刀具旋转角度处与第i个底刃对应的切削角度，被定义为该刀刃方向 与Y轴正方向之间的夹角。

(7)将作用在各个底刃和侧刃的铣削力求和，得到总铣削力：

$F\left(t\right)=\left(\begin{array}{c}{F}_{X,\mathrm{Fs}}\left(t\right)\\ F_{Y,\mathrm{Fs}}\left(t\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{F}_{X,\mathrm{Fp}}\left(t\right)\\ F_{Y,\mathrm{Fp}}\left(t\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{F}_{X,B}\left(t\right)\\ F_{Y,B}\left(t\right)\end{array}\right)$

(8)将通过如下方法确定的对应于侧刃剪切效应的切向铣削力系数K_T，Fs和侧刃 剪切效应的径向铣削力系数K_R，Fs代入步骤(1)的公式中，将通过如下方法确定的对应 于侧刃犁切效应的切向铣削力系数K_T，Fp和侧刃犁切效应的径向铣削力系数K_R，Fp代入 步骤(3)的公式中，将通过如下方法确定的对应于底刃切削效应的切向铣削力系数K_T，B和底刃切削效应的径向铣削力系数K_R，B代入步骤(5)的公式中，并在一个刀具旋转周 期内重复执行步骤(1)到步骤(7)，获得平头立铣刀在一个周期内的铣削力分布图。

1)选定平头立铣刀和工件参数，包括立铣刀的半径R、螺旋角β、刀齿数N_f，工 件几何参数的选择需满足测力仪安装的要求；设定标定试验的工艺参数：单齿进给量f、 轴向切削深度Rz、径向切削深度Rr、刀具主轴转速，要求Rz小于3mm。

2)根据步骤1)设定的切削参数并测铣削力，要求工件被加工面与刀具轴线垂直。 用表示在t_m，n时刻对应于第m个刀齿切削周期内的第n个采样点的相角，将对应于 的瞬时铣削力记为和

3)根据步骤2)测得的铣削力标定刀具偏心参数ρ和λ。

4)通过下式将和转换到局部坐标系下的分量和

式中，为与相角对应的坐标变换矩阵。

5)根据步骤4)的结果，将与第m个刀齿切削周期对应的所有和 表示成：

D_q，mK_q，Fs＝d_q，m

式中，q＝T或者R，表示切削力的切向或者径向分量

$D_{q,m}={\left[\underset{i,j}{\Sigma }\right[h_{F,i,j}\left(t_{m,1}\right)w_{i,j}\left(t_{m,1}\right)],\underset{i,j}{\Sigma }[h_{F,i,j}\left(t_{m,2}\right)w_{i,j}\left(t_{m,2}\right)],...,\underset{i,j}{\Sigma }[h_{F,i,j}\left(t_{m,n_m}\right)w_{i,j}\left(t_{m,n_m}\right)\left]\right]}^T$

式中，n_m表示第m个刀齿切削周期内的最大采样点数。

6)根据步骤5)，采用下式标定切向和径向铣削力系数

$K_{q,\mathrm{Fs}}=\underset{m=1}{\overset{N_f}{\Sigma }}\left\{{\left[{D_{q,m}}^T{D}_{q,m}\right]}^{-1}\right[{D_{q,m}}^T{d}_{q,m}\left]\right\}/N_f$

7)根据步骤6)的结果，首先根据步骤(1)和步骤(2)计算与侧刃剪切效应对 应的X向铣削力F_X，Fs(t_m，n)和Y向铣削力F_X，Fs(t_m，n)，然后通过下式计算步骤2)测得的铣削 力中除去侧刃剪切效应铣削力分量后的剩余分量

8)根据步骤7)的结果，建立如下数学关系式

D[K_Te，F，K_T，B，K_Re，F，K_R，B]^T＝c

式中，

$D=\left(\begin{array}{cccc}\underset{i,j}{\Sigma }{w}_{i,j}\left(t_{\mathrm{1,1}}\right)& \underset{i}{\Sigma }{b}_i\left(t_{\mathrm{1,1}}\right)& 0& 0\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ \underset{i,j}{\Sigma }{w}_{i,j}\left(t_{N_f,n_{N_f}}\right)& \underset{i}{\Sigma }{b}_i\left(t_{N_f,n_{N_f}}\right)& 0& 0\\ 0& 0& \underset{i,j}{\Sigma }{w}_{i,j}\left(t_{\mathrm{1,1}}\right)& \underset{i}{\Sigma }{b}_i\left(t_{\mathrm{1,1}}\right)\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ 0& 0& \underset{i,j}{\Sigma }{w}_{i,j}\left(t_{N_f,n_{N_f}}\right)& \underset{i}{\Sigma }{b}_i\left(t_{N_f,n_{N_f}}\right)\end{array}\right)$

9)通过公式

[K_T，Fp，K_T，B，K_R，Fp，K_R，B]^T＝[D^TD]^-1[D^Tc]

确定K_T，Fp，K_R，Fp，K_T，B和K_R，B。

本发明的有益效果是：由于通过常值铣削力系数建立三种切削机制和工艺几何参 数的关联关系，并采用最小二乘法即可实现铣削力系数的标定，相比现有技术简化了 铣削力系数的标定流程；既考虑了侧刃参与切削时的剪切效应和犁切效应对铣削力的 影响，也考虑了底刃参与切削时的切削效应对铣削力的影响，克服了现有技术不能独 立揭示侧刃剪切效应、侧刃犁切效应以及底刃切削效应这三种切削机制的不足；通过 一次试验测得的铣削力即可实现铣削力系数的标定，无需进行大量的铣削试验，降低 了对试验数目的要求，因而降低了试验成本。

下面结合附图和实施例对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明方法实施例一中的预测铣削力和实测铣削力对比图。

图2是本发明方法实施例二中的预测铣削力和实测铣削力对比图。

图中，a-X方向铣削力分量[N]，b-Y方向铣削力分量[N]，c-刀具旋转角度[度]， L1-采用本发明方法时的预测铣削力，L2-实测铣削力。

具体实施方式

参照图1～2。本发明平头立铣刀铣削过程铣削力建模方法以铝合金铣削为例详细 说明建模方法。机床为立式三坐标铣床。

实施例一：

(1)选定铣刀参数：铣刀刀具半径R为8mm、螺旋角β为30度，刀具齿数N_f为3；工件材料为铝合金AL2618；铣削方式：逆铣。设定切削参数：刀具 主轴转速为2000转/分钟，单齿进给量为0.05mm/齿，轴向切削深度Rz为 6mm，径向切削深度Rr为3mm。沿轴向将铣刀等分为100个梁单元，通 过下式计算t时刻因侧刃剪切效应作用在第i个刀齿上第j个侧刃单元上的 切向铣削力F_{T，F，i，j}(t)和径向铣削力F_{R，F，i，j}(t)：

F_{T，Fs，i，j}(t)＝K_T，Fsh_F，i，j(t)w_i，j(t)

F_{R，Fs，i，j}(t)＝K_R，Fsh_F，i，j(t)w_i，j(t)

式中，K_T，Fs表示对应于侧刃剪切效应的切向铣削力系数，K_R，Fs表示对应于侧刃剪 切效应的径向铣削力系数，w_i，j(t)表示对应于第i个刀齿上第j个侧刃单元的轴向 高度，h_F，i，j(t)表示在t时刻对应于第i个刀齿上第j个侧刃单元的瞬时未变形切屑 厚度。

(2)根据步骤(1)得到的计算式，通过下式计算因剪切效应作用在侧刃上的铣 削合力：

$F_{X,\mathrm{Fs}}\left(t\right)=\underset{i,j}{\Sigma }[-F_{T,\mathrm{Fs},i,j}\left(t\right)\cos {\theta }_{i,j}\left(t\right)-F_{R,\mathrm{Fs},i,j}\left(t\right)\sin {\theta }_{i,j}\left(t\right)]$

$F_{Y,\mathrm{Fs}}\left(t\right)=\underset{i,j}{\Sigma }[F_{T,\mathrm{Fs},i,j}\left(t\right)\sin {\theta }_{i,j}\left(t\right)-F_{R,\mathrm{Fs},i,j}\left(t\right)\cos {\theta }_{i,j}\left(t\right)]$

式中，θ_i，j(t)是刀具旋转角度处与第i个刀齿上第j个侧刃单元对应的切削角度， 被定义为从Y向顺时针到第i个刀齿上第j个侧刃单元的中点所转过的角度。

(3)计算t时刻因侧刃犁切效应作用在第i个刀齿上第j个侧刃单元上的切向铣 削力F_{T，Fp，i，j}(t)和径向铣削力F_{R，Fp，i，j}(t)：

F_{T，Fp，i，j}(t)＝K_T，Fpw_i，j(t)

F_{R，Fp，i，j}(t)＝K_R，Fpw_i，j(t)

式中，K_T，Fp是对应于侧刃犁切效应的切向铣削力系数，K_R，Fp是对应于侧刃犁切效 应的径向铣削力系数。

(4)根据步骤(3)得到的计算式，通过下式计算因犁切效应作用在侧刃上的铣 削合力：

$F_{X,\mathrm{Fp}}\left(t\right)=\underset{i,j}{\Sigma }[-F_{T,\mathrm{Fp},i,j}\left(t\right)\cos {\theta }_{i,j}\left(t\right)-F_{R,\mathrm{Fp},i,j}\left(t\right)\sin {\theta }_{i,j}\left(t\right)]$

$F_{Y,\mathrm{Fp}}\left(t\right)=\underset{i,j}{\Sigma }[F_{T,\mathrm{Fp},i,j}\left(t\right)\sin {\theta }_{i,j}\left(t\right)-F_{R,\mathrm{Fp},i,j}\left(t\right)\cos {\theta }_{i,j}\left(t\right)]$

(5)计算t时刻作用在底刃上的径向铣削力F_T，B，i(t)和切向铣削力F_R，B，i(t)

F_T，B，i(t)＝K_T，Bb_i(t)

F_R，B，i(t)＝K_R，Bb_i(t)

式中，K_T，B是对应于底刃切削效应的切向铣削力系数，K_R，B是对应于底刃切削效应的 径向铣削力系数，b_i(t)是与第i个底刃对应的切屑宽度。

(6)将底刃上的铣削力转化到X和Y方向

F_X，B(t)＝-F_T，B，i(t)cosθ_i，0(t)-F_R，B，i(t)sinθ_i，0(t)

F_Y，B(t)＝F_T，B，i(t)sinθ_i，0(t)-F_R，B，i(t)cosθ_i，0(t)

式中，θ_i，0(t)是刀具旋转角度处与第i个底刃对应的切削角度，被定义为该刀刃方向 与Y轴正方向之间的夹角。

(7)将作用在各个底刃和侧刃的铣削力求和，得到总铣削力：

$F\left(t\right)=\left(\begin{array}{c}{F}_{X,\mathrm{Fs}}\left(t\right)\\ F_{Y,\mathrm{Fs}}\left(t\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{F}_{X,\mathrm{Fp}}\left(t\right)\\ F_{Y,\mathrm{Fp}}\left(t\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{F}_{X,B}\left(t\right)\\ F_{Y,B}\left(t\right)\end{array}\right)$

(8)将通过如下方法确定的对应于侧刃剪切效应的切向铣削力系数K_T，Fs和侧刃 剪切效应的径向铣削力系数K_R，Fs代入第(1)步公式中，将通过如下方法确 定的对应于侧刃犁切效应的切向铣削力系数K_T，Fp和侧刃犁切效应的径向铣 削力系数K_R，Fp代入第(3)步公式中，将通过如下方法确定的对应于底刃切 削效应的切向铣削力系数K_T，B和底刃切削效应的径向铣削力系数K_R，B代入 第(5)步公式中，并在一个刀具旋转周期内重复执行步骤(1)到(7)， 即可获得平头立铣刀在一个周期内的铣削力分布图。

1)设定标定试验的参数：选择步骤(1)中相同的平头立铣刀以顺铣方式进行标 定试验。设定切削参数：刀具主轴转速为2000转/分钟，单齿进给量f为0.05mm/齿，轴 向切削深度Rz为1.2mm，径向切削深度Rr为8mm。

2)根据步骤1)设定的切削参数并测铣削力，要求工件被加工面与刀具轴线垂直。 用表示在t_m，n时刻对应于第m个刀齿切削周期内的第n个采样点的相角，将对应于 的瞬时铣削力记为和

3)根据步骤2)测得的铣削力，采用文献4“M.Wan，W.H.Zhang，G.H.Qin，G.Tan， Efficient calibration of instantaneous cutting force coefficients and runout parameters for general  end mills，International Journal of Machine Tools and Manufacture 47(2007)1767-1776.”公开的 方法标定刀具偏心参数ρ和λ，标定结果为：ρ＝5.2μm，λ＝60.5°。

4)通过下式将和转换到局部坐标系下的分量和

式中，为与相角对应的坐标变换矩阵。

5)根据步骤4)的结果，将与第m个刀齿切削周期对应的所有和 表示成：

D_q，mK_q，Fs＝d_q，m

式中，q＝T或者R，表示切削力的切向或者径向分量

$D_{q,m}={\left[\underset{i,j}{\Sigma }\right[h_{F,i,j}\left(t_{m,1}\right)w_{i,j}\left(t_{m,1}\right)],\underset{i,j}{\Sigma }[h_{F,i,j}\left(t_{m,2}\right)w_{i,j}\left(t_{m,2}\right)],...,\underset{i,j}{\Sigma }[h_{F,i,j}\left(t_{m,n_m}\right)w_{i,j}\left(t_{m,n_m}\right)\left]\right]}^T$

n_m表示第m个刀齿切削周期内的最大采样点数。

6)根据步骤5)，采用下式标定切向和径向铣削力系数

$K_{q,\mathrm{Fs}}=\underset{m=1}{\overset{N_f}{\Sigma }}\left\{{\left[{D_{q,m}}^T{D}_{q,m}\right]}^{-1}\right[{D_{q,m}}^T{d}_{q,m}\left]\right\}/N_f$

7)根据步骤6)的结果，首先根据第(1)步和第(2)步计算与侧刃剪切效应对 应的X向铣削力F_X，Fs(t_m，n)和Y向铣削力F_Y，Fs(t_m，n)，然后通过下式计算步骤2)测得的铣削 力中除去侧刃剪切效应铣削力分量后的剩余分量

8)根据步骤7)的结果，建立如下数学关系式

D[K_Te，F，K_T，B，K_Re，F，K_R，B]^T＝c

式中，

$D=\left(\begin{array}{cccc}\underset{i,j}{\Sigma }{w}_{i,j}\left(t_{\mathrm{1,1}}\right)& \underset{i}{\Sigma }{b}_i\left(t_{\mathrm{1,1}}\right)& 0& 0\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ \underset{i,j}{\Sigma }{w}_{i,j}\left(t_{N_f,n_{N_f}}\right)& \underset{i}{\Sigma }{b}_i\left(t_{N_f,n_{N_f}}\right)& 0& 0\\ 0& 0& \underset{i,j}{\Sigma }{w}_{i,j}\left(t_{\mathrm{1,1}}\right)& \underset{i}{\Sigma }{b}_i\left(t_{\mathrm{1,1}}\right)\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ 0& 0& \underset{i,j}{\Sigma }{w}_{i,j}\left(t_{N_f,n_{N_f}}\right)& \underset{i}{\Sigma }{b}_i\left(t_{N_f,n_{N_f}}\right)\end{array}\right)$

9)通过下式确定K_T，Fp，K_R，Fp，K_T，B和K_R，B

[K_T，Fp，K_T，B，K_R，Fp，K_R，B]^T＝[D^TD]^-1[D^Tc]

由步骤6)和步骤9)标定得到K_T，Fs，K_R，Fs，K_T，Fp，K_R，Fp，K_T，B和K_R，B结果为：

[K_T，Fs，K_R，Fs，K_T，Fp，K_R，Fp，K_T，B，K_R，B]^T＝

[690.89N/mm²，179.32N/mm²，10.22N/mm，10.20N/mm，100.58N/mm，66.54N/mm]^T

通过以上步骤，得到如图1所示的预测铣削力与实测铣削力的对比图。

实施例二：

(1)选定铣刀参数：铣刀刀具半径R为6mm、螺旋角β为30度，刀具齿数Nf 为3；工件材料为铝合金AL7050；铣削方式：顺铣。设定切削参数：刀具 主轴转速为1000转/分钟，单齿进给量为0.08mm/齿，轴向切削深度Rz为 4mm，径向切削深度Rr为6mm。沿轴向将铣刀等分为100个梁单元，通 过下式计算t时刻因侧刃剪切效应作用在第i个刀齿上第j个侧刃单元上的 切向铣削力F_{T，F，i，j}(t)和径向铣削力F_{R，F，i，j}(t)：

F_{T，Fs，i，j}(t)＝K_T，Fsh_F，i，j(t)w_i，j(t)

F_{R，Fs，i，j}(t)＝K_R，Fsh_F，i，j(t)w_i，j(t)

式中，K_T，Fs表示对应于侧刃剪切效应的切向铣削力系数，K_R，Fs表示对应于侧刃剪 切效应的径向铣削力系数，w_i，j(t)表示对应于第i个刀齿上第j个侧刃单元的轴向 高度，h_F，i，j(t)表示在t时刻对应于第i个刀齿上第j个侧刃单元的瞬时未变形切屑 厚度。

(2)根据步骤(1)得到的计算式，通过下式计算因剪切效应作用在侧刃上的铣 削合力：

$F_{X,\mathrm{Fs}}\left(t\right)=\underset{i,j}{\Sigma }[-F_{T,\mathrm{Fs},i,j}\left(t\right)\cos {\theta }_{i,j}\left(t\right)-F_{R,\mathrm{Fs},i,j}\left(t\right)\sin {\theta }_{i,j}\left(t\right)]$

$F_{Y,\mathrm{Fs}}\left(t\right)=\underset{i,j}{\Sigma }[F_{T,\mathrm{Fs},i,j}\left(t\right)\sin {\theta }_{i,j}\left(t\right)-F_{R,\mathrm{Fs},i,j}\left(t\right)\cos {\theta }_{i,j}\left(t\right)]$

式中，θ_i，j(t)是刀具旋转角度处与第i个刀齿上第j个侧刃单元对应的切削角度， 被定义为从Y向顺时针到第i个刀齿上第j个侧刃单元的中点所转过的角度。

(3)计算t时刻因侧刃犁切效应作用在第i个刀齿上第j个侧刃单元上的切向铣 削力F_{T，Fp，i，j}(t)和径向铣削力F_{R，Fp，i，j}(t)：

F_{T，Fp，i，j}(t)＝K_T，Fpw_i，j(t)

F_{R，Fp，i，j}(t)＝K_R，Fpw_i，j(t)

式中，K_T，Fp是对应于侧刃犁切效应的切向铣削力系数，K_R，Fp是对应于侧刃犁切效 应的径向铣削力系数。

(4)根据步骤(3)得到的计算式，通过下式计算因犁切效应作用在侧刃上的铣 削合力：

$F_{X,\mathrm{Fp}}\left(t\right)=\underset{i,j}{\Sigma }[-F_{T,\mathrm{Fp},i,j}\left(t\right)\cos {\theta }_{i,j}\left(t\right)-F_{R,\mathrm{Fp},i,j}\left(t\right)\sin {\theta }_{i,j}\left(t\right)]$

$F_{Y,\mathrm{Fp}}\left(t\right)=\underset{i,j}{\Sigma }[F_{T,\mathrm{Fp},i,j}\left(t\right)\sin {\theta }_{i,j}\left(t\right)-F_{R,\mathrm{Fp},i,j}\left(t\right)\cos {\theta }_{i,j}\left(t\right)]$

(5)计算t时刻作用在底刃上的径向铣削力F_T，B，i(t)和切向铣削力F_R，B，i(t)

F_T，B，i(t)＝K_T，Bb_i(t)

F_R，B，i(t)＝K_R，Bb_i(t)

式中，K_T，B是对应于底刃切削效应的切向铣削力系数，K_R，B是对应于底刃切削效应的 径向铣削力系数，b_i(t)是与第i个底刃对应的切屑宽度。

(6)将底刃上的铣削力转化到X和Y方向

F_X，B(t)＝-F_T，B，i(t)cosθ_i，0(t)-F_R，B，i(t)sinθ_i，0(t)

F_Y，B(t)＝F_T，B，i(t)sinθ_i，0(t)-F_R，B，i(t)cosθ_i，0(t)

式中，θ_i，0(t)是刀具旋转角度处与第i个底刃对应的切削角度，被定义为该刀刃方向 与Y轴正方向之间的夹角。

(7)将作用在各个底刃和侧刃的铣削力求和，得到总铣削力：

$F\left(t\right)=\left(\begin{array}{c}{F}_{X,\mathrm{Fs}}\left(t\right)\\ F_{Y,\mathrm{Fs}}\left(t\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{F}_{X,\mathrm{Fp}}\left(t\right)\\ F_{Y,\mathrm{Fp}}\left(t\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{F}_{X,B}\left(t\right)\\ F_{Y,B}\left(t\right)\end{array}\right)$

(8)将通过如下方法确定的对应于侧刃剪切效应的切向铣削力系数K_T，Fs和侧刃 剪切效应的径向铣削力系数K_R，Fs代入第(1)步公式中，将通过如下方法确 定的对应于侧刃犁切效应的切向铣削力系数K_T，Fp和侧刃犁切效应的径向铣 削力系数K_R，Fp代入第(3)步公式中，将通过如下方法确定的对应于底刃切 削效应的切向铣削力系数K_T，B和底刃切削效应的径向铣削力系数K_R，B代入 第(5)步公式中，并在一个刀具旋转周期内重复执行步骤(1)到(7)， 即可获得平头立铣刀在一个周期内的铣削力分布图。

1)设定标定试验的参数：选择步骤(1)中相同的平头立铣刀以顺铣方式进行标 定试验。设定切削参数：刀具主轴转速为1000转/分钟，单齿进给量f为0.08mm/齿，轴 向切削深度Rz为2mm，径向切削深度Rr为6mm。

2)根据步骤1)设定的切削参数并测铣削力，要求工件被加工面与刀具轴线垂直。 用表示在t_m，n时刻对应于第m个刀齿切削周期内的第n个采样点的相角，将对应于 的瞬时铣削力记为和

3)根据步骤2)测得的铣削力，采用文献4“M.Wan，W.H.Zhang，G.H.Qin，G.Tan， Efficient calibration of instantaneous cutting force coefficients and runout parameters for  general end mills，International Journal of Machine Tools and Manufacture 47(2007) 1767-1776.”公开的方法标定刀具偏心参数ρ和λ，标定结果为：ρ＝8.7μm，λ＝26.2°。

4)通过下式将和转换到局部坐标系下的分量和

式中，为与相角对应的坐标变换矩阵。

5)根据步骤4)的结果，将与第m个刀齿切削周期对应的所有和 表示成：

D_q，mK_q，Fs＝d_q，m

式中，q＝T或者R，表示切削力的切向或者径向分量

$D_{q,m}={\left[\underset{i,j}{\Sigma }\right[h_{F,i,j}\left(t_{m,1}\right)w_{i,j}\left(t_{m,1}\right)],\underset{i,j}{\Sigma }[h_{F,i,j}\left(t_{m,2}\right)w_{i,j}\left(t_{m,2}\right)],...,\underset{i,j}{\Sigma }[h_{F,i,j}\left(t_{m,n_m}\right)w_{i,j}\left(t_{m,n_m}\right)\left]\right]}^T$

n_m表示第m个刀齿切削周期内的最大采样点数。

6)根据步骤5)，采用下式标定切向和径向铣削力系数

$K_{q,\mathrm{Fs}}=\underset{m=1}{\overset{N_f}{\Sigma }}\left\{{\left[{D_{q,m}}^T{D}_{q,m}\right]}^{-1}\right[{D_{q,m}}^T{d}_{q,m}\left]\right\}/N_f$

7)根据步骤6)的结果，首先根据第(1)步和第(2)步计算与侧刃剪切效应对 应的X向铣削力F_X，Fs(t_m，n)和Y向铣削力F_Y，Fs(t_m，n)，然后通过下式计算步骤2)测得的铣削 力中除去侧刃剪切效应铣削力分量后的剩余分量

8)根据步骤7)的结果，建立如下数学关系式

D[K_Te，F，K_T，B，K_Re，F，K_R，B]^T＝c

式中，

$D=\left(\begin{array}{cccc}\underset{i,j}{\Sigma }{w}_{i,j}\left(t_{\mathrm{1,1}}\right)& \underset{i}{\Sigma }{b}_i\left(t_{\mathrm{1,1}}\right)& 0& 0\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ \underset{i,j}{\Sigma }{w}_{i,j}\left(t_{N_f,n_{N_f}}\right)& \underset{i}{\Sigma }{b}_i\left(t_{N_f,n_{N_f}}\right)& 0& 0\\ 0& 0& \underset{i,j}{\Sigma }{w}_{i,j}\left(t_{\mathrm{1,1}}\right)& \underset{i}{\Sigma }{b}_i\left(t_{\mathrm{1,1}}\right)\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ 0& 0& \underset{i,j}{\Sigma }{w}_{i,j}\left(t_{N_f,n_{N_f}}\right)& \underset{i}{\Sigma }{b}_i\left(t_{N_f,n_{N_f}}\right)\end{array}\right)$

9)通过下式确定K_T，Fp，K_R，Fp，K_T，B和K_R，B

[K_T，Fp，K_T，B，K_R，Fp，K_R，B]^T＝[D^TD]^-1[D^Tc]

由步骤6)和步骤9)标定得到K_T，Fs，K_R，Fs，K_T，Fp，K_R，Fp，K_T，B和K_R，B结果为：

[K_T，Fs，K_R，Fs，K_T，Fp，K_R，Fp，K_T，B，K_R，B]^T＝

[1287.67N/mm²，723.63N/mm²，13.14N/mm，12.44N/mm，191.38N/mm，44.97N/mm]^T

通过以上步骤，得到如图2所示的预测铣削力与实测铣削力的对比图。

从图1和图2可以看出：

(a)采用本发明方法预测得到的铣削力，其相宽、曲线形态、峰值大小与实测铣 削力能较好吻合。

(b)由一次试验标定得到的铣削力模型，在其他切削参数下，如采用不同轴向切 削深度、不同径向切削深度等，均有较好的预测精度，例如实施例一，由顺铣 试验标定得到的切削力模型应用于逆铣试验也具有很好的预测精度。

以上预测结果和试验结果表明：由于本发明采用常值切削力系数作为基本参数表 征侧刃剪切效应、侧刃犁切效应以及底刃切削效应三种切削机理，并且在一次试验基 础上即可完成铣削力系数的标定，一方面，简化了铣削力模型的表征形式并节约了建 模成本，另一方面，预测值与试验值的良好吻合说明本发明方法可以模拟反映实际情 况的铣削力分布。