一种基于椭圆球面波函数的正交脉冲设计方法

技术领域

本发明涉及无线电通信中的波形设计方法，尤其涉及一种时域正交脉冲设计方法。

背景技术

椭圆球面波函数集(Prolate Spheroidal Wave Functions，PSWF)具有时-频域能量聚集性 最佳、时域双正交、完备、近似时限带限、频谱可控等优良特性，自提出伊始便受到了学术 界的广泛关注，并展现出良好的应用前景。Slepian和Pollak等在1961年的Bell实验室研究 报告中首先提出并研究了PSWF函数集合，并在其后20年的时间里，相继发表了一系列相关 研究报告。

关于椭圆球面波函数的定义形式，主要有以下两种。

①积分方程定义式

椭圆球面波函数积分方程定义式如下：

${\lambda }_n{\psi }_n\left(t\right)={\int }_{-T/2}^{T/2}{\psi }_n\left(\tau \right)\frac{\sin \Omega (t-\tau )}{\pi (t-\tau )}\mathrm{d\tau }---\left(1\right)$

其中，ψ_n(t)为n阶椭圆球面波函数，Ω为角频率，λ_n是n阶椭圆球面波函数ψ_n(t)的能量集中 度因子，T为椭圆球面波函数的持续时间宽度。

②微分方程定义式

椭圆球面波函数的微分方程定义式如下：

$[{\left(\frac{T}{2}\right)}^2-t^2]\frac{d^2{\psi }_n\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^2}-2t\frac{d{\psi }_n\left(t\right)}{\mathrm{dt}}+[{\chi }_n\left(c\right)-C^2{\left(\frac{2t}{T}\right)}^2]{\psi }_n\left(t\right)=0,-T/2\le t\le T/2---\left(2\right)$

其中，χ_n为n阶椭圆球面波函数对应的特征值，C为椭圆球面波函数的时间带宽积。

目前，椭圆球面波函数已在多个领域得到广泛应用。该函数被用于小波信号分析，可以 达到比sinc函数更高的时间分辨率；用于数字图像和数字信号处理，可有效解决时间分辨率 和空间分辨率矛盾，用于光学系统分析建模，具有更好的通用性；用于无线通信信道研究， 可以更准确地建模高速移动通信信道和时频选择性衰落信道；用于通信信号设计，可以实现 灵活的频谱控制，并具有更高的频谱效率和功率效率。尤其是，发明专利(申请号 200810237849.5)公开了一种时域正交、波道交叠的正交脉冲组设计方法，所设计的正交脉 冲组既可使通信系统具有较高的频带利用率，同时又具有较好的能量聚集性。在该专利中， 采用基于积分方程定义式求解椭圆球面波函数的近似数值解，该方法通过对椭圆球面波函数 所满足的积分方程进行离散化，经构造特性函数、求解矩阵的特征向量，来得到近似数值解， 然而，求解过程中的矩阵维数会随着采样点数的增加而增加，从而导致计算量显著提高，计 算时间长，效率低；另外，在该发明专利中，仅公开了相邻子波道频谱交叠50％时的波道划 分方法，划分方式不灵活。

发明内容

为了克服现有技术的缺陷，本发明公开一种基于椭圆球面波函数的正交脉冲设计方法， 其目的在于提供一种低复杂度、波道设计灵活、高频带利用率、时域正交、频谱交叠的正交 脉冲设计方法。

本发明所公开的正交脉冲设计方法，是从椭圆球面波函数的微分方程定义式出发，基于 状态转移矩阵求解近似数值解，以降低正交脉冲设计的复杂度，其设计步骤包括：波道划分、 椭圆球面波函数正交脉冲参数设置、基于微分方程定义式的椭圆球面波函数近似数值求解以 及正交化过程。

其中，波道划分是将通信波道以均匀交叠方式划分为多个带宽相同且相互交叠的子波 道，频谱交叠的大小并不局限于50％，以提高波道划分的灵活性；椭圆球面波函数正交脉冲 参数设置，是设置正交脉冲的参数，由正交脉冲占用的频谱宽度B、频谱下限频率f_L和频谱 上限频率f_H、子波道划分个数k、椭圆球面波函数的时间带宽积因子C、频谱交叠度为ρ确 定；基于微分方程定义式的椭圆球面波函数近似数值求解，是从椭圆球面波函数的微分方程 定义式出发，通过降阶处理得到椭圆球面波函数微分方程的一阶状态方程，基于状态转移矩 阵求解该状态方程的解，并通过区间离散化来逼近离散时间点上的状态转移矩阵，从而得到 椭圆球面波函数的近似数值解，相对于发明专利(申请号200810237849.5)公开的基于积分 方程定义式的近似数值求解方法来说，该方法可有效降低数值求解的复杂度；最后再通过正 交化过程将各个子波道的椭圆球面波函数脉冲转化为正交脉冲。

附图说明

图1是相邻子波道交叠55％时的波道划分示意图。

图2是本发明所公开的椭圆球面波函数求解方法与现有技术(发明专利申请号 200810237849.5)所需计算量与离散采样点数目的关系曲线。

具体实施方式

下面结合附图和实现步骤对本发明进行详细描述，本发明可通过以下步骤来实现。

①波道划分。

将通信波道即正交脉冲占用的频谱宽度以均匀交叠方式划分为k个带宽相同且相互交叠 的子波道，k为大于0的正整数，相邻子波道频谱交叠的大小ρ可用两个相邻子波道交叠的 频谱带宽占子波道带宽的百分比表示，其取值范围为大于0且小于100％的百分数，频谱交 叠大小与通信系统的频带利用率有重要关系，频谱交叠值越大，系统的频带利用率越高。 图1给出了频谱交叠大小为55％时的波道划分示意图。

②椭圆球面波函数正交脉冲参数设置。

椭圆球面波函数正交脉冲参数设置是设置正交脉冲的参数，由正交脉冲占用的频谱宽度 B、频谱下限频率f_L和频谱上限频率f_H、子波道划分个数k、椭圆球面波函数的时间带宽积 因子C、频谱交叠度为ρ确定，正交脉冲频谱宽度B与频谱下限频率f_L和频谱上限频率f_H三 者满足关系式：B＝f_H-f_L，正交脉冲频谱宽度B、子频带带宽B₀与频谱交叠度ρ三者满足 关系式：B＝[(1-ρ)k+ρ]B₀，时间带宽积因子C与脉冲持续时间T_s、各子波道带宽B₀三者 满足关系式：C＝πB₀T_s，各子波道的椭圆球面波函数脉冲个数为

③基于微分方程定义式的椭圆球面波函数近似数值求解。

基于椭圆球面波函数的微分方程定义式，进行降阶处理，得到椭圆球面波函数微分方程 的一阶状态方程，基于状态转移矩阵求解椭圆球面波函数的状态方程，并通过区间离散化来 逼近离散时间点上的状态转移矩阵，从而得到椭圆球面波函数的近似数值解。主要包括以下 步骤：

i)椭圆球面波函数微分方程降阶

如式(2)所示，对椭圆球面波函数的微分方程定义式进行整理变换，可得到

$\frac{d^2{\psi }_n}{{\mathrm{dt}}^2}=\frac{2t}{{(T/2)}^2-t^2}\frac{{\mathrm{d\psi }}_n}{\mathrm{dt}}-\frac{{\chi }_n-{4C}^2{t}^2/T^2}{{(T/2)}^2-t^2}{\psi }_n,T/2<t<T/2---\left(3\right)$

将式(3)降阶，得到椭圆球面波函数微分方程的一阶状态方程：

$\stackrel{·}{x}\left(t\right)=A\left(t\right)x\left(t\right),-T/2<t<T/2---\left(4\right)$

其中，

$x\left(t\right)=\left(\begin{array}{c}{\psi }_n\left(t\right)\\ {\stackrel{·}{\psi }}_n\left(t\right)\end{array}\right),$$A\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{{\chi }_n-{4C}^2{t}^2/T^2}{{(T/2)}^2-t^2}& \frac{2t}{{(T/2)}^2-t^2}\end{array}\right),$ψ_n(t)为第一维状态变量。

ii)基于状态转移矩阵的椭圆球面波函数状态方程求解

根据线性系统理论，式(4)基于状态转移矩阵的解可表示为：

x(t)＝Φ(t，-T/2)x(-T/2)                    (5)

其中，x(-T/2)为系统在初始时刻-T/2具有的初始状态，Φ(t，-T/2)为式(5)从初始时刻-T/2 到t时刻的状态转移矩阵。

iii)椭圆球面波函数状态方程解的近似逼近

时变微分方程的状态转移矩阵非常难以求取，在工程中通常采用近似处理，只要满足一 定的精度要求即可。将区间[-T/2，T/2]等间隔划分为N个小区间[t_i-1，t_i]，记i＝1，2，…N， t_s＝t_i-t_i-1，N的取值大小与数值求解精度有关，通过数值逼近微小区间内的状态转移矩阵来 获得[-T/2，T/2]上的近似状态转移矩阵，从而得到式(5)的数值解。

设Φ(t_i，t_i-1)为[t_i-1，t_i]这一微小区间上的状态转移矩阵，则式(5)在t_i时刻表示为：

x(t_i)＝Φ(t_i，t_i-1)x(t_i-1)，i＝1，2，…N            (6)

由式(6)求得Φ(t_i，t_i-1)，通过小区间上状态转移矩阵的连乘求得系统在每一时刻的状态值。

根据线性系统理论，Φ(t_i，t_i-1)具有以下性质：

$\left(\begin{array}{cc}\stackrel{·}{\Phi }(t,t_{i-1})=A\left(t\right)\Phi (t,t_{i-1}),& t_{i-1}\le t\le t_i\\ \Phi (t_i,t_i)=\Phi (t_{i-1},t_{i-1})=I& \end{array}\right)---\left(7\right)$

对Φ(t，t_i-1)进行泰勒级数展开得到近似计算式，同时通过给定局部截断误差的阶数，得到 近似计算式的计算精度。将Φ(t，t_i-1)在t_i-1处按泰勒级数展开，然后令t＝t_i，有：

$\Phi (t_i,t_{i-1})=\Phi (t_{i-1},t_{i-1})+t_s\stackrel{·}{\Phi }(t_{i-1},t_{i-1})+$

$\frac{1}{2!}{t_s}^2\stackrel{··}{\Phi }(t_{i-1},t_{i-1})+······+---\left(8\right)$

$\frac{1}{n!}{t_s}^n{\Phi }^{\left(n\right)}(t_{i-1},t_{i-1})+o\left({t_s}^n\right)$

其中，o(t_sⁿ)为t_sⁿ的高阶无穷小，也即近似计算式的截断误差。通过取不同的n值，即可得到 Φ(t_i，t_i-1)在区间[t_i-1，t_i]上具有不同精度的近似计算式。如取n＝1，并利用性质(8)，则有：

Φ(t_i，t_i-1)＝[I+(t_i-t_i-1)A(t_i-1)]+o(t_s)          (9)

如取n＝2，有：

$\Phi (t_i,t_{i-1})=\{I+(t_i-t_{i-1})A\left(t_{i-1}\right)+\frac{1}{2!}{(t_i-t_{i-1})}^2[\stackrel{·}{A}\left(t_{i-1}\right)+A^2\left(t_{i-1}\right)\left]\right\}+o\left({t_s}^2\right)---\left(10\right)$

按此类推，忽略t_s的高阶无穷小，即可得到各分段区间上具有更高阶精度的近似状态转移 矩阵计算式。

采用发明专利(申请号200810237849.5)所公开的基于积分方程定义式的数值求解方法 求解椭圆球面波函数时，当采样点数为N时，所需加乘运算次数为N²(N+1)/4，而采用本发 明所公开方法，选用二阶精度计算椭圆球面波函数的数值解，仅需要54N次加乘运算，此时 求解误差精度可达10^-12数量级。图2为两种方法所需计算量与离散采样点数的关系曲线。如 图2所示，本发明所公开的方法在计算量方面明显具有优势，且随着采样点数的增加，优势 越来越明显。

④正交化过程。

通过正交化方法，如Schmidt正交化方法，将k个子波道的椭圆球面波函数脉冲转换为 时域正交脉冲，正交脉冲个数为k×m。

与现有技术相比，本发明具有如下有益效果：

①波道划分方式灵活。

发明专利(申请号200810237849.5)仅给出了频谱交叠大小为50％的波道划分情况，而 本发明专利所公开的波道划分方式并不局限于此，从而使波道划分方式更加灵活，且波道划 分的频谱交叠大小与通信系统的频带利用率有重要关系，频谱交叠值越大，系统的频带利用 率越高，当频谱交叠大小大于50％时，所设计的正交脉冲可快速提高通信系统的频带利用 率。

②计算复杂度低。

在发明专利(申请号200810237849.5)中，采用基于积分方程定义式求解椭圆球面波函 数的数值解，该方法对椭圆球面波函数所满足的积分方程进行离散化，通过构造特性函数、 求解矩阵的特征向量，来得到近似数值解，随着采样点数的增加，矩阵维数随之增加，导致 计算量大大增加，计算时间长，效率低；而在本发明中，从椭圆球面波函数的微分方程定义 式出发，采用线性时变理论，基于状态转移矩阵求解椭圆球面波函数的近似数值解，在相同 采样点时，本发明的计算量远小于现有技术，如图2所示，另外，本发明的所公开的椭圆球 面波函数求解方法的求解精度高且可控，易于硬件实现。