基于ADAMS的行星轮系非线性动力学建模方法

技术领域

本发明涉及一种动力学建模方法，尤其是涉及一种基于ADAMS的行星轮系非线性动力学建模方法。

背景技术

复杂机械系统的运动学和动力学分析过程中存在许多困难：在构造动力学方程时面临繁重的代数和微分计算，而且由于方程的非线性致使无法求得封闭的解析解。在这一背景下，利用计算机解决复杂系统的分析和综合问题成为近二十年来一般力学领域的一个主要且进展迅速的研究方向。目前，多体动力学仿真软件(ADAMS)是世界上最具有权威性，使用范围最广的机械系统动力学软件。用户使用ADAMS软件，可以生成任意复杂系统的多体动力学数学化虚拟样机模型，能为用户提供从产品概念设计、方案论证、详细设计、到产品方案修改、优化、试验规划甚至故障诊断各阶段、全方位的仿真计算分析结果。

针对在机械系统中应用广泛的齿轮传动，ADAMS/View提供了impact函数进行计算接触力来表示齿轮之间的啮合作用力。这种方法在求解计算的时候需要占用较长时间，求解效率低。而且仿真结果的精确性在很大程度上依赖于几何模型的精确性。同时，实际的齿轮传动系统是一个复杂的动力学系统，在啮合过程中存在大量动态激励因素，如时变啮合刚度、时变啮合阻尼、不同齿对啮合相位等。因此，有必要对轮齿之间的啮合作用力提出改进。

发明内容

本发明提供了一种基于ADAMS行星轮系非线性动力学建模方法，考虑齿轮时变啮合刚度、时变啮合阻尼及齿对相位差，旨在解决在ADAMS软件中难以准确表达轮齿之间的啮合作用力问题。

为了实现本发明的目的，在此所提供的基于ADAMS行星轮系非线性动力学建模方法，具体步骤如下：

步骤一：设定行星轮系的建模条件；

步骤二：建模并将建好的模型导入ADAMS中，对模型进行简化，设定环境参数并添加约束、接触力和驱动函数；

步骤三：在太阳轮、行星轮、内齿圈、行星架的质心建立Marker点Angle_ref，并使各Marker点Z轴的方向与全局坐标系下的Z轴相同，先求各齿轮相对行星架Marker点的Angle_ref的Z轴角位移，再乘以基圆半径获得各齿轮在啮合线上的相对位移方程和相对线速度方程；

步骤四：通过改进势能法获取齿轮时变啮合刚度方程；

步骤五：获取齿轮时变啮合阻尼方程；

步骤六：在ADAMS中修改模型中齿轮接触力，使其值恒为0，根据相对位移方程、相对线速度方程、齿轮时变啮合刚度方程和齿轮时变啮合阻尼方程定义啮合力方程，完成行星轮系非线性动力学建模。

本发明所提供的建模方法在模型中计入了时变啮合刚度、时变啮合阻尼以及相对位移和速度等参数激励，所建模型通用性强，可以做任何工况下的行星轮系的动力学仿真；齿轮啮合力的计算结果更为准确，有效地避免了由于建立模型的几何形状的精确性影响到计算结果的准确性，计算速度快，精度高。

具体的，步骤六中所述的啮合力方程为：

式(1)中F_spi为行星轮i与太阳轮之间齿合力，k_spi为行星轮i与太阳轮之间的时变啮合刚度，x_spi为行星轮i与太阳轮在啮合线上的相对位移，c_spi为行星轮i与太阳轮之间的时变啮合阻尼，为行星轮i与太阳轮在啮合线上的相对线速度；

式(1)中k_spi通过以下一个方程获取：

或

式(3)为单齿啮合期间，一对齿轮副总的时变啮合刚度；式(4)为两对轮齿同时参与啮合时总的时变啮合刚度；其中k_h为赫兹刚度，k_b为弯曲刚度，k_a为径向压缩刚度，k_s为剪切刚度；i＝1时表示第一对轮齿啮合；i＝2时表示第二对轮齿啮合；下标1，2分别表示驱动齿轮与从动齿轮；和分别通过以下方程获取：

式(5)～式(8)中：E为弹性模量，L为齿轮轴向厚度，υ为泊松比，α₁为啮合点距离齿根d处，啮合线在基圆上的切点与齿轮中心的连线和轮齿对称线的夹角；α为啮合点距离齿根x处，啮合线在基圆上的切点与齿轮中心的连线和轮齿对称线的夹角；α₂为基圆与齿廓线交点与齿轮中心间的连线和轮齿对称线所形成的夹角；α₅表示当啮合点与齿根圆距离为0时，作用力F与分解力F_b之间的夹角，式中α₅通过以下方程组获取：

式(9)中R_r为齿根圆半径，R_b为基圆半径，α₄为齿根圆与齿廓线交点与齿轮中心间的连线和轮齿对称线所形成的夹角；

式(1)中x_spi通过以下一个方程获取：

或

式(10)中：分别为太阳轮相对于行星架的角位移和行星轮相对于行星架的角位移，r_bs为太阳轮的基圆半径，r_bpi为行星轮的基圆半径，

式(1)中c_spi通过以下方程获取：

式(12)中：ζ为阻尼比，k为时变啮合刚度，m₁、m₂分别表示齿轮对中齿轮质量；

式(1)中通过以下两个方程获取：

或

式(14)中：和分别为太阳轮相对行星架线速度及行星轮相对行星架线速度，可以通过相应角速度与基圆半径之积求得；

式(2)中F_rpi为行星轮i与内齿圈之间的齿合力，k_rpi为行星轮i与内齿圈之间的时变啮合刚度，x_rpi为行星轮i与太内齿圈在啮合线上的相对位移，c_rpi为行星轮i与内齿圈之间的时变啮合阻尼，为行星轮i与内齿圈在啮合线上的相对线速度；

式(2)中k_rpi通过方程式(3)或(4)获取；

式(2)中x_rpi通过以下两种方程获取：

或

式(16)中和为齿圈相对于行星架的角位移和行星轮相对于行星架的角位移，r_br为内齿圈的基圆半径，r_bpi为行星轮的基圆半径；

式(2)中c_rpi通过方程(12)获得：

式(2)中通过以下一个方程获得：

或

式(11)、式(14)、式(16)和式(18)中AZ、WZ分别为角位移函数以及角速度函数；Z_s、Z_p、Z_r分别为太阳轮、行星轮及内齿圈的齿数；α为压力角；m为模数。

具体的，步骤一中所述建模条件为：

(1)轮系中所有齿轮均为标准渐开线直齿圆柱齿轮；

(2)两齿轮齿坯视为刚体，轮系的输入和输出轴为刚体，不考虑支撑的弹性变形；

(3)轮系中齿轮按标准中心距安装，齿轮节圆与分度圆重合；

(4)不计齿轮误差和齿测间隙。

具体的，步骤二中所述的接触力选择冲激函数法进行计算。

具体的，步骤四中所述的改进势能法首先是将模型中的轮齿简化为齿根院上的悬臂梁，储存在啮合齿轮中的势能包括赫兹接触势能U_h、弯曲势能U_b、径向压缩势能U_a和剪切势能U_s，通过赫兹接触势能U_h、弯曲势能U_b、径向压缩势能U_a和剪切势能U_s计算赫兹刚度k_h、弯曲刚度k_b、径向压缩刚度k_a和剪切刚度k_s，总啮合刚度为各刚度的串联形式；各能量与刚度满足以下关系：

式(19)～式(22)中F为啮合点处齿的相互作用力，方向沿啮合线方向，并且是始终与齿廓相交。

本发明所提供的所建的齿轮啮合力方程适用于不同结构的行星轮系，如固定齿圈的行星轮系、差动行星轮系。

本发明的有益效果是：在模型中计入了时变啮合刚度、时变啮合阻尼以及相关参数激励，所建模型通用性强，可以做任何工况下的行星轮系的动力学仿真；齿轮啮合力的计算结果更为准确，有效地避免了由于建立模型的几何形状的精确性影响到计算结果的准确性，计算速度快，精度高。

附图说明

图1为本发明所记载的两级行星轮系统的结构简图；

图2为本发明所提供的基于ADAMS的行星轮系非线性动力学建模方法的流程图；

图3为本发明所建立的两级行星轮系非线性动力学模型结构示意图1；

图4为本发明所建立的两级行星轮系非线性动力学模型结构示意图2；

图5为第一级太阳轮与行星轮啮合刚度曲线；

图6为第一级行星轮与齿圈啮合刚度曲线；

图7为第二级太阳轮与行星轮啮合刚度曲线；

图8为第二级行星轮与齿圈啮合刚度曲线；

图9为导入ADAMS中的刚度数据图；

图10为利用本发明所提供的啮合力方程计算得到的齿轮啮合作用力示意图；

图11为轮齿啮合受力示意图。

具体实施方式

在此结合附图和具体实施例对本发明的技术方案作进一步的说明。

在此本申请以功率分流式两级行星轮系为例进行建模，功率分流式两级行星轮系简图如图1所示；该轮系由两级行星轮系构成，其中第一级为普通行星轮系，第二级是一个差动行星齿轮机构。功率由主轴输入，把功率分成两部分，一部分通过主轴传递到第一级的内齿圈上，另一部分功率通过主轴直接与第二级行星架相连，最后通过差动行星自身耦合到第二级太阳轮上实现功率合流。在ADAMS软件进行建模，并在建模时考虑时变啮合刚度、时变啮合阻尼，建模步骤如图2所示，具体为：

步骤一：根据行星轮系设定建模条件，该建模条件可以根据行星轮系的不同而不同，在此本申请所采用的建模条件具体为：

1、轮系中所有齿轮均为标准渐开线直齿圆柱齿轮；

2、两齿轮齿坯视为刚体，轮系的输入和输出轴为刚体，不考虑支撑的弹性变形；

3、轮系中齿轮按标准中心距安装，齿轮节圆与分度圆重合；

4、不计齿轮误差和齿测间隙；

步骤二：通过Pro/E、SolidWorks或者其它三维建模软件建立行星轮系实体模型，如图3和图4所示；模型建好后导入ADAMS中，在ADAMS环境下对模型进行简化，通过布尔操作工具，将行星齿轮与行星轮轴简化为一体；设定环境参数，具体为：分别输入各个构件的质量及质心标记点作为转动惯量参考标记点；并定义好各种约束关系，除第一级行星架设置为固定副外，其它所有构件设置为绕其几何中心的旋转副，同时将输入轴分别与第一级齿圈、第二级行星架设置固定副，将第一级太阳轮与第二级齿圈设置固定副；设置接触力时可以采用ADAMS中任何一种函数计算实现，在此本申请采用的是冲激函数实现计算；

步骤三：在太阳轮、行星轮、内齿圈、行星架的质心建立Marker点Angle_ref，并使各Marker点Z轴的方向与全局坐标系下的Z轴相同，先求各齿轮相对行星架Marker点的Angle_ref的Z轴角位移，再乘以基圆半径获得各齿轮在啮合线上的相对位移方程和相对线速度方程；

步骤四：通过改进势能法获取齿轮时变啮合刚度方程；

步骤五：获取齿轮时变啮合阻尼方程；

步骤六：在ADAMS中修改模型中齿轮接触力，使其值恒为0，根据相对位移方程、相对线速度方程、齿轮时变啮合刚度方程和齿轮时变啮合阻尼方程定义啮合力方程，完成行星轮系非线性动力学建模。

通过以上建模方法所建立的行星轮非线性动力学模型包括行星轮i与太阳轮之间齿合力方程和行星轮i与内齿圈之间的齿合力方程，本申请在此所建立的行星轮i与太阳轮之间齿合力方程如式(1)所示，而行星轮i与内齿圈之间的齿合力方程如式(2)所示，

式(1)中F_spi为行星轮i与太阳轮之间齿合力，k_spi为行星轮i与太阳轮之间的时变啮合刚度，x_spi为行星轮i与太阳轮在啮合线上的相对位移，c_spi为行星轮i与太阳轮之间的时变啮合阻尼，为行星轮i与太阳轮在啮合线上的相对线速度；

式(1)中k_spi通过以下一个方程获取：

或

式(3)为单齿啮合期间，一对齿轮副总的时变啮合刚度；式(4)为两对轮齿同时参与啮合时总的时变啮合刚度；其中k_h为赫兹刚度，k_b为弯曲刚度，k_a为径向压缩刚度，k_s为剪切刚度；i＝1时表示第一对轮齿啮合；i＝2时表示第二对轮齿啮合；下标1，2分别表示驱动齿轮与从动齿轮；和分别通过以下方程获取：

式(5)～式(8)中：E为弹性模量,该弹性模量为常数，根据齿轮材料不同，弹性模量不同，如低碳钢为200～210GPa，中碳钢为205GPa，合金钢为210，球墨铸铁为150～180，铝合金为71；L为齿轮轴向厚度，υ为泊松比，该泊松比为常数，根据齿轮材料不同而不同，如低碳钢为0.24～0.28；中碳钢为0.24～0.28，合金钢为0.25～0.30，铝合金为0.33。结合图11对式(5)～式(8)中的α₁、α、α₂和α₅进行说明，其中α₁为啮合点距离齿根d处，啮合线在基圆上的切点与齿轮中心的连线和轮齿对称线的夹角；α为啮合点距离齿根x处，啮合线在基圆上的切点与齿轮中心的连线和轮齿对称线的夹角；α₂为基圆与齿廓线交点与齿轮中心间的连线和轮齿对称线所形成的夹角；α₅表示当啮合点与齿根圆距离为0时，作用力F与分解力F_b之间的夹角；式中α₅通过以下方程组获取：

式(9)中R_r为齿根圆半径，R_b为基圆半径，α₄为齿根圆与齿廓线交点与齿轮中心间的连线和轮齿对称线所形成的夹角,如图11所示；

式(1)中x_spⁱ通过以下一个方程获取：

或

式(10)中：分别为太阳轮相对于行星架的角位移和行星轮相对于行星架的角位移，r_bs为太阳轮的基圆半径，r_bpi为行星轮的基圆半径，

式(1)中c_spi通过以下方程获取：

式(12)中：ζ为阻尼比，k为时变啮合刚度，m₁、m₂分别表示齿轮对中齿轮质量；

式(1)中通过以下两个方程获取：

或

式(14)中：和分别为太阳轮相对行星架线速度及行星轮相对行星架线速度，可以通过相应角速度与基圆半径之积求得；

式(2)中F_rpi为行星轮i与内齿圈之间的齿合力，k_rpi为行星轮i与内齿圈之间的时变啮合刚度，x_rpi为行星轮i与太内齿圈在啮合线上的相对位移，c_rpi为行星轮i与内齿圈之间的时变啮合阻尼，为行星轮i与内齿圈在啮合线上的相对线速度；

式(2)中k_rpi通过方程式(3)或(4)获取；

式(2)中x_rpi通过以下两种方程获取：

或

式(16)中和为齿圈相对于行星架的角位移和行星轮相对于行星架的角位移，r_br为内齿圈的基圆半径，r_bpi为行星轮的基圆半径；

式(2)中c_rpi通过方程(12)获得：

式(2)中通过以下一个方程获得：

或

式(11)、式(14)、式(16)和式(18)中AZ、WZ分别为角位移函数以及角速度函数；Z_s、Z_p、Z_r分别为太阳轮、行星轮及内齿圈的齿数；α为压力角；m为模数。此外式(11)、式(14)、式(16)和式(18)是在ADAMS/View运行函数下的表示方式，其中函数AZ功能为：返回某一Marker点绕另一Marker点Z轴旋转的角度；其中函数WZ功能为：返回两Marker点角速度矢量差在Z轴分量。

此外，本实施例在步骤四中所采用的改进势能法首先是将模型中的轮齿简化为齿根院上的悬臂梁，储存在啮合齿轮中的势能包括赫兹接触势能U_h、弯曲势能U_b、径向压缩势能U_a和剪切势能U_s，通过赫兹接触势能U_h、弯曲势能U_b、径向压缩势能U_a和剪切势能U_s计算赫兹刚度k_h、弯曲刚度k_b、径向压缩刚度k_a和剪切刚度k_s，总啮合刚度为各刚度的串联形式。各能量与刚度之间的关系可以根据悬臂梁理论，根据储存在轮齿中的能量获得相应的刚度，本实施方式针对各能量与刚度之间的关系通过以下关系进行表达：

式(19)～式(22)中F为啮合点处齿的相互作用力，方向沿啮合线方向，并且是始终与齿廓相交；F_b和F_a为力F的两个分力，如图11所示；d、x、和h的含义具体如图11所示；E为弹性模量，根据齿轮的材料不同而不同，I_x为啮合点x与齿根之间部分轮齿的面积惯性矩；G为剪切模量，该剪切模量为常数，根据齿轮材料得到；A_x为横截面积。

在此假设功率分流式两级行星轮系的主要参数如表1所示。

表1：功率分流式两级行星轮系的主要参数

在Pro/E软件中建立行星轮系实体模型，然后导入ADAMS中，导入到ADAMS中的模型型状如图3和图4所示；在ADAMS中定义好各种约束关系，除第一级行星架设置为固定副外，其它所有构件设置为绕其几何中心的旋转副，同时将输入轴分别与第一级齿圈、第二级行星架设置固定副，将第一级太阳轮与第二级齿圈设置固定副；并通过改进势能法分别计算两级行星轮系齿轮啮合刚度，并考虑齿轮对间啮合相位关系，两级行星轮系齿轮啮合刚度的计算结果分别如图5、图6、如7、和图8所示，其中图5为第一级太阳轮与行星轮啮合刚度曲线，图6为第一级行星轮与齿圈啮合刚度曲线，图7为第二级太阳轮与行星轮啮合刚度曲线，图8为第二级行星轮与齿圈啮合刚度曲线；并将计算得到的时变啮合刚度导入ADAMS中，时变啮合刚度导入ADAMS所产生的影响通过图9表示，其中(a)为数据显示，(b)为对应的图像显示；最后运用ADAMS提供的运行函数来描述轮齿之间的啮合作用力：图10为第一级行星轮系中第一对太阳轮与行星轮及行星轮与齿圈间的啮合力，从仿真结果可以看出，由于时变啮合刚度作用，造成了周期性冲击，对于第一级行星轮系，在给定输入转速n＝13.9r/min条件下，啮合频率为33Hz，因此在仿真时间为1s下具有33次冲击。其结果为行星轮系的动态分析、结构优化设计提供了有效的理论依据。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。