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法律状态信息
法律状态
2022-09-16
实质审查的生效 IPC(主分类):G06F16/22 专利申请号:2022104265345 申请日:20220422
实质审查的生效
技术领域
本发明涉及一种基于泰勒展开的多维插值方案及其维间点取值方法，属于离散数学应用领域。
背景技术
在描述一个复杂的多影响因素的物理模型时，常用一个目标函数f来描述，但是f往往不存在显式包含各因素的解析表达式，并且求解方程复杂。而在研究这类问题时，采用高精度的数值仿真计算时间和成本偏高，采用实验的方法，实验台搭建成本和实验成本也偏高，在科研经费有限的前提下，只能仿真或实验少量的离散数据点，来研究其内在的物理规律。作为更深入的研究，甚至需要根据输出f对该物理模型设计控制规律，这时，对目标函数f计算的实时性要求很高。
而插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值，同时由于插值计算式比较简单，计算时间也较短。所以插值成为研究初期，描述上述物理模型的首选手段，以获得一个低精度的任意状态下目标函数f实时的估计值模型。
目前用的最多的插值是一维线性插值、二维双线性插值等，其可以根据固定的公式，得到插值结果。更高维的插值缺乏通用的高效求解方法。专利公布号为CN110674133A的专利提出一种高维插值的压缩存储及计算方法，其解决了更高维度插值的求解问题。其插值计算方法，采用的是从树叶到树根的递归计算方法，其计算是层层权值计算最后取平均，计算量是
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于泰勒展开的多维插值方案及其维间点取值方法，旨在对深度存储树进一步简化压缩存储，降低内存占用并方便嵌套循环算法的使用；提出更为通用的基于一阶多元泰勒展开式的插值方法，进一步降低计算量；以及提出多维插值表的维间点取值方法，为插值表制定提供更经济的科学指导。
为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：
一种基于泰勒展开的多维插值方案及其维间点取值方法，包括：插值方法，插值表存储法和插值表维间取值方法，所述的插值方法包括多元泰勒展开和数据调用算法，所述的插值表存储法是指通过一个二维区间数组A[I][N]和一维值域数组B[K]进行数据存储，插值表存储数据通过数值仿真或实验的手段获得，所述的二维区间数组只存储各维间的独立的维间点值，所述的独立的维间点是指第n维的每一个维间点对应的第n+1维的多维树状图分支的维间点的个数和数值都一样，所述的插值表维间取值方法采用的是通过对目标函数的量纲分析来求解各维自变量的阶次，依据阶次选择最少的维间点的个数；
所述二维区间数组A[I][N]表示行数为I，列数为N的二维数组，其中A[0][n]表示第n维的最小值，A[I
所述的一种基于泰勒展开的多维插值方案，其特征在于，所述的插值方法以多元泰勒展开为载体，在求解多元泰勒展开式的过程需要数据调用算法，其中f在点
其中，
所述的数据调用算法，以下边界值域索引插值公式为例，具有如下步骤：
①根据待求坐标值，采用黄金分割法对A[I][N]进行双重嵌套循环查找，以计算n个维度变量的待求坐标增量η
②根据坐标(i
所查找f的数值，其与一维值域数组B[h
h
其中，h
③根据各项，求解插值函数值；
作为本发明插值精度更高的一种选择，可以采用高阶形式的多元泰勒展开，代价是占用更高的计算量和内存资源，同时由于离散高阶导数的定义，阶次每增加一次，每一维度上需要额外增加一个数据点，故会增加插值表数据的成本，如果一阶多元泰勒的计算量是N，那么Q阶是
其中，
所述的一种基于泰勒展开的多维插值方案及其维间点取值方法，其特征在于，所述的插值表维间点取值方法采用的是通过对目标函数的量纲分析来求解各维自变量的阶次，依据阶次选择最少的维间点的个数，以降低插值表的制作经济成本；
所述的量纲分析的步骤为：
①先根据经验，人为的选择所研究现象的主要影响因素
②依据所描述现象的“基本物理量”的量纲，选择能全部涵盖所述“基本物理量”的相互独立的变量，记为m个；
③依据π定理，写出n-m个相似准则π的表达式，其中任意一个相似准则π
所述本构关系f
其中，g
对于自变量的阶次为g
当第n维变量可以近似为周期为T的周期性函数时，根据香浓采样定理至少需要设置T/2的仿真或实验数据间隔才能不破坏其变化规律。
与现有技术相比，本发明的优势是：基于一阶多元泰勒展开，插值计算的计算量为N+1，相比于从树叶到树根的递归计算方法的计算量
附图说明
图1为本发明的二维区间数组A[I][N]和一维值域数组B[K]与多维树状图的对应图。
图2为本发明的数据调用算法。
图3为本发明的对于g
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
请参阅图1，本发明实施例中，一种基于泰勒展开的多维插值方案及其维间点取值方法，包括：插值方法，插值表存储法和插值表维间取值方法，所述的插值方法包括多元泰勒展开和数据调用算法，所述的插值表存储法是指通过一个二维区间数组A[I][N]和一维值域数组B[K]进行数据存储，插值表存储数据通过数值仿真或实验的手段获得，所述的二维区间数组只存储各维间的独立的维间点值，所述的独立的维间点是指第n维的每一个维间点对应的第n+1维的多维树状图分支的维间点的个数和数值都一样，所述的插值表维间取值方法采用的是通过对目标函数的量纲分析来求解各维自变量的阶次，依据阶次选择最少的维间点的个数；
所述二维区间数组A[I][N]表示行数为I，列数为N的二维数组，其中A[0][n]表示第n维的最小值，A[I
所述的一种基于泰勒展开的多维插值方案，其特征在于，所述的插值方法以多元泰勒展开为载体，在求解多元泰勒展开式的过程需要数据调用算法，其中f在点
其中，
请参阅图2，本发明实施例中，所述的数据调用算法，以下边界值域索引插值公式为例，具有如下步骤：
①根据待求坐标值，采用黄金分割法对A[I][N]进行双重嵌套循环查找，以计算n个维度变量的待求坐标增量η
②根据坐标(i
所查找f的数值，其与一维值域数组B[hN-1]的数值相对应，其中第n维的h
h
其中，h
③根据各项，求解插值函数值；
作为本发明插值精度更高的一种选择，可以采用高阶形式的多元泰勒展开，代价是占用更高的计算量和内存资源，同时由于离散高阶导数的定义，阶次每增加一次，每一维度上需要额外增加一个数据点，故会增加插值表数据的成本，如果一阶多元泰勒的计算量是N，那么Q阶是
其中，
请参阅图3，本发明实施例中，所述的一种基于泰勒展开的多维插值方案及其维间点取值方法，其特征在于，所述的插值表维间点取值方法采用的是通过对目标函数的量纲分析来求解各维自变量的阶次，依据阶次选择最少的维间点的个数，以降低插值表的制作经济成本；
所述的量纲分析的步骤为：
①先根据经验，人为的选择所研究现象的主要影响因素
②依据所描述现象的“基本物理量”的量纲，选择能全部涵盖所述“基本物理量”的相互独立的变量，记为m个；
③依据π定理，写出n-m个相似准则π的表达式，其中任意一个相似准则π
所述本构关系f
其中，g
对于自变量的阶次为g
当第n维变量可以近似为周期为T的周期性函数时，根据香浓采样定理至少需要设置T/2的仿真或实验数据间隔才能不破坏其变化规律。
下面以具体例子进行量纲分析：
根据观察分析，影响管内流动压强损失的因素有管内平均流速V、流动密度ρ、管道直径d，管长l、流体的动力粘度μ、管壁粗糙度Δ。试确定水平放置有压管道压强损失Δp的函数关系式。
解：依据题意，影响管内有压流动的主要因素有7个，他们分别是管内平均流速V、流动密度ρ、管道直径d，管长l、流体的动力粘度μ、管壁粗糙度Δ、管道压强损失Δp。
选择V、d、ρ三个互为独立的变量为基本物理量，这三者包含了长度[L]、质量[M]、时间[t]三个基本量纲。写出7-3＝4个π的表达式：
根据分子分母的量纲相同的原则，可求出各π项中的指数(a
代入原式得到与压强损失有关的相似准则π
类似地可得π
选择一个包含目标函数的相似准则，其为π
π
对于本例给出的管内流动，实验发现，其压强损失Δp与相对管长l/d成正比，于是上式可以改写为
于是管流的压强损失
其中，定义λ＝f
对于层流λ＝64/Re
对于湍流过渡粗糙管区λ＝0.11(Δ/d+68/Re)
对于湍流完全粗糙管区λ＝(2lg(Δ/d)+1.72)
可见量纲分析法对理论经验依赖性较高，这个例子在雷诺数和相对粗糙度确定的情况下只能独立的进行管内平均流速V、流动密度ρ、管长l、流体的动力粘度μ的精确的离散取点，对于其它维的参数可以用函数
本发明并不局限于上述实施例，在本发明公开的技术方案的基础上，本领域的技术人员根据所公开的技术内容，不需要创造性的劳动就可以对其中的一些技术特征作出一些简单修改、等同变化与修饰，均属于本发明技术方案的范围内。
机译： 一种基于一维内容的图像插值设备，一种用于该设备的数据库构造方法和基于一维内容的图像插值方法
机译： 模式识别情况下的方案和模型自适应基于泰勒展开
机译： 基于泰勒展开的模式识别模型自适应方案
