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Radial Basis Function Approximation Optimal Shape Parameters Estimation

机译：径向基函数近似最佳形状参数估计

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Radial basis functions (RBF) arc widely used in many areas especially for interpolation and approximation of scattered data, solution of ordinary and partial differential equations, etc. The RBF methods belong to meshless methods, which do not require tessellation of the data domain, i.e. using Delaunay triangulation, in general. The RBF meshless methods are independent of a dimensionality of the problem solved and they mostly lead to a solution of a linear system of equations. Generally, the approximation is formed using the principle of unity as a sum of weighed RBFs. These two classes of RBFs: global and local, mostly having a shape parameter determining the RBF behavior. In this contribution, we present preliminary results of the estimation of a vector of "optimal" shape parameters, which are different for each RBF used in the final formula for RBF approximation. The preliminary experimental results proved, that there are many local optima and if an iteration process is to be used, no guaranteed global optima are obtained. Therefore, an iterative process, e.g. used in partial differential equation solutions, might find a local optimum, which can be far from the global optima.
机译：径向基函数（RBF）已广泛用于许多领域，尤其是用于分散数据的内插和逼近，常微分方程和偏微分方程的求解等。RBF方法属于无网格方法，不需要对数据域进行细分。通常使用Delaunay三角剖分。 RBF无网格方法与所解决问题的维数无关，它们大多导致线性方程组的解。通常，使用单位原理作为加权RBF的总和来形成近似值。这两类RBF：全局和局部，大多数具有决定RBF行为的形状参数。在此贡献中，我们介绍了“最佳”形状参数向量的估计的初步结果，这些结果对于在用于RBF近似的最终公式中使用的每个RBF都是不同的。初步的实验结果证明，存在许多局部最优，如果要使用迭代过程，则无法获得保证的全局最优。因此，需要一个迭代过程，例如在偏微分方程解决方案中使用可能会找到一个局部最优值，该最优值可能与全局最优值相去甚远。

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