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HR和FHN时滞神经元系统的Hopf分岔

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摘要

1 绪论

1．1 引言

1．2 神经元网络模型的发展

1．3 时滞神经元网络动力学研究现状

1．3．1 时滞系统的稳定性研究

1．3．2 时滞神经元网络的Hopf分岔的主要研究方法

1．4 问题的提出

1．4．1 HR时滞神经元系统模型的引入

1．4．2 具有两个时滞的耦合FHN神经元系统模型的引入

1．5 本文研究的主要内容

2 基础知识储备

2．1 四次方程根的分布

2．2 时滞系统平衡点的稳定性

2．3 中心流形定理

2．4 劳斯·赫尔维茨定理

2．5 传统的线性近似方法

2．6 指数多项式的零点分布定理

3 HR时滞神经元系统的Hopf分岔

3．1 正平衡点的存在性

3．2 正平衡点的稳定性

3．3 正平衡点的Hopf分岔分析

3．4 数值仿真

4 耦合FHN时滞神经元系统的Hopf分岔

4．1 正平衡点的存在性

4．2 正平衡点的稳定性

4．3 正平衡点的Hopf分岔性质

4．4 数值仿真

结论

参考文献

致谢

攻读学位期间的研究成果

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摘要

在生物神经网络和人工神经网络中时滞是不可避免的，因为生物系统中神经元之间的信息传输速度以及电路系统中放大器的开关速度都是有限的。研究者发现时滞的存在常会导致神经元网络系统的平衡点失去原有的稳定性，从而破坏它的网络性能。时滞神经网络在模式识别和人工智能等领域的广泛应用，使得对其动力学的研究在学术界掀起了一片热潮。即使在最简单的时滞动力学系统中，也可能会产生诸如周期、概周期振荡以及混沌响应等复杂的动力学行为特征，所以，时滞神经元系统是非常复杂的非线性动力学系统，而且对于它的研究涉及多门学科、多个领域，具有很高的科学研究价值和实际意义。
　　本文研究了两类时滞神经元系统的平衡点稳定性问题，并且推导出了这两个模型发生Hopf分岔的相关条件，最后用Matlab进行了数值模拟。主要研究的内容如下:
　　1.绪论。本文第一部分简要介绍了选题的背景、模型的发展、研究现状和本篇文章主要研究的两类神经元网络系统——修改的HR、FHN时滞神经元系统模型。
　　2.基础知识储备。介绍了本文用到的主要定理、引理和相关结论:Routh-Hurwitz定理、指数多项式的零点分布定理、四次方程根的分布、中心流行定理。
　　3.本文所研究的第一个网络模型是修改的HR时滞神经网络模型。首先在原有研究的基础上加入两个时滞得到了一个新的时滞系统，分析其非负平衡点的存在性和稳定性情况;其次，先找出Hopf分岔存在的前提条件，再结合中心流形定理、应用规范化理论求得Hopf分岔的性质:分岔周期、方向和周期解的稳定性等;最后用Matlab进行数值模拟，从图像我们可以观察到:随着时滞的变化，时滞模型平衡点的稳定性发生了很大的改变，因此，时滞的加入确实改变了系统的动力学特性，验证本章所得的一些结论。
　　4.本章基于Anderson Hoff等提出的耦合FHN模型，同样加入两个时滞得到一个新的时滞系统。在讨论本章的Hopf分岔问题时，首先用与第三章相同的方法得出平衡点处拟特征方程根的分布，根据分布情况来研究它的稳定性、Hopf分岔;接下来，通过相关的定理求出Hopf分岔的周期、方向和分岔周期解的稳定性的相关表达式;最后用Matlab进行数值仿真，选取具有代表性的图来印证所得的结论。文章中处理两个方程的方式不同:第一个时滞神经元系统的微分方程是一个三阶非线性微分方程较另一个简单些，通过观察可以直接得到非线性项，然后做代换计算，从而得到结论。第二个系统的微分方程是一个四阶非线性微分方程，本章比较麻烦的是判断拟特征方程是否存在正实根，计算时得出了一个八次方程，代换之后可以得到一个一元四次方程，通过分析该四次方程对应导数的根的分布，从而给出该四次方程有正实根的条件。

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