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定常自然对流问题和定常不可压磁流体方程的两层网格数值方法的研究

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由于人们对非线性现象本质的认识有限,使得数值模拟成为一种十分重要的研究手段,但直接数值模拟非线性偏微分方程存在一个很大的困难,即庞大的计算规模、长时间积分和有限计算资源之间的矛盾,因此构造和研究具有长时间稳定性和高效、低耗的算法就显得尤为重要.本文以两类复杂流体(定常自然对流问题和定常不可压磁流体方程)作为研究对象,重在构造不可压流体的两层网格有限元算法.两层网格方法是一种求解非线性偏微分方程的高效数值离散格式.将它应用到有限元上,就能将求解的复杂非线性问题简化成求解两个问题:首先在粗网格上,花相当小的代价求解非线性问题;其次在细网格上,由粗网格上所求得的初解将原问题线性化,从而得到相对简单的线性问题,并求解.因此,两层网格方法能够节省大量计算时间.迭代法是数值计算中求解复杂非线性问题不可或缺的方法.迭代法是通过反复迭代,即从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题的过程.对于小粘性系数(即高雷诺数)问题,用经典的Galerkin有限元方法求解可能会存在数值振荡,限制了该方法在计算流体力学中的应用,稳定化方法的引入使得此类问题变得可解.因此我们将亚格子稳定化方法列入本文的研究范围.此外,复杂流体中的压力和速度往往是耦合的,这使得求解此类问题变得困难,罚方法可以很好的处理此类问题.因此罚方法也被列入本文的研究范围.综合以上多种方法,我们构造一系列求解不可压缩流体问题的高效、低耗的新算法,具体安排如下:
　　在第三章中,针对自然对流问题,基于 Oseen迭代和亚格子稳定化方法构造新的两层网格方法:耦合的两层亚格子稳定化 Oseen迭代方法和解耦的两层亚格子稳定化Oseen迭代方法.耦合的两层亚格子稳定化 Oseen迭代方法分两个步骤.首先在网格尺寸为 H的粗网格上求解自然对流问题的亚格子稳定化 Oseen迭代数值格式,得到迭代解(umH,pmH,TmH),其中 m为 Oseen迭代步数;然后在网格尺寸为 h的细网格上,利用粗网格上的迭代解线性化自然对流问题,求解 Newton迭代校正的数值格式得解(umh, pmh, Tmh).与耦合的两层亚格子稳定化Oseen迭代方法相比,解耦的两层亚格子稳定化Oseen迭代方法的不同之处在于在细网格上用的是Oseen迭代方法校正的,而且数值格式的右端 Tmh被粗网格上的解 T mH所代替.这样仅需要求解两个线性的子问题,并且这两个子问题可以进行并行计算,从而达到节省计算时间的目的.所给的数值算例也验证了所构造的新方法的有效性和收敛性.在第四章中,针对不可压缩磁流体方程,基于 Stokes, Newton和 Oseen迭代构造全面多样的两层网格迭代方法.在强唯一性条件下,我们构造三种不同的两层迭代方法:首先在网格尺寸为H的粗网格上求迭代解((umH,BmH),pmH);然后在网格尺寸为h的细网格上求解Stokes, Newton和Oseen校正问题的解((umh,Bmh),pmh).同时本章从理论上分析了两层迭代方法的稳定性和收敛性.在弱唯一性条件下,本章研究了细网格(网格尺寸为h)上一层Oseen迭代方法,并分析了相应数值解的稳定性和收敛性.数值试验中的两个算例也说明了不同的两层网格迭代方法在求解磁流体问题时所展现的优缺点.
　　在第五章中,基于罚方法,考虑了不可压磁流体方程的两层罚方法:取罚参数为0<ε?1,首先在粗网格上,用标准罚方法求解非线性磁流体问题得解((uεH,BεH),pεH);其次在细网格上,借助粗网格解用罚方法融合Stokes, Newton和Oseen迭代构造磁流体问题的数值格式,并求其数值解((uhε, Bhε), phε).理论分析和数值算例都验证了算法的稳定性和收敛性.

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