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黎曼流形上一类Hessian方程的障碍问题

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摘要

Hessian方程的障碍问题在微分几何中有着重要应用，该问题起源于研究欧公式空间上一定条件下具有上（下）障碍的超曲面问题。
　　本文针对黎曼流形上一类Hessian方程的障碍问题，研究障碍问题的解的存在性与正则性。本文利用引入一类惩罚函数，将Hessian方程的障碍问题转化为奇异置换方程；通过对奇异置换方程的容许解的研究，得到Hessian方程的障碍问题的解的存在性与正则性；对于奇异置换方程，先验估计可以保证容许解的存在性及正则性，因此Hessian方程的障碍问题容许解的先验估计就变得十分重要。
　　首先在n维带边紧致黎曼流形M上运用最大值原理得到容许解的C0先验估计。
　　其次，借助C0先验估计，由最大值原理得到容许解在黎曼流形边界上的C1先验估计；通过选取适当的试验函数，借助U的定义得到了容许解在黎曼流形内部的C1先验估计；至此，则得到了黎曼流形上这类Hessian方程障碍问题的C1先验估计。
　　最后，利用到边界的距离函数构造适当的闸函数，证明了容许解在黎曼流形边界上的C2先验估计；对于容许解在流形内部的C2先验估计，通过选取适当的试验函数，并利用最大值原理及C1先验估计即可得到；至此，则得到了黎曼流形上Hessian方程障碍问题的C1先验估计。

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