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随机动力系统与非自治动力系统的一些动态行为

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1 引言

2 Conley定理

3 离散随机动力系统的Conley 指标

4 连续时间随机动力系统的Conley指标

5 几乎处处不变性质

6 非自治动力系统的动态行为

致谢

参考文献

攻读学位期间发表和完成的论文目录

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摘要

本文研究了两方面的内容. 一方面是考虑随机动力系统的相关动态行为, 主要是用拓扑的方法以及用概率统计的方法来解决随机动力系统的相关问题. 阐述了随机动力系统在非紧可分完备空间上的随机Conley定理, 同时应用离散时间随机动力系统的Conley 指标考虑了随机动力系统的分叉问题. 定义了连续时间随机动力系统的Conley指标. 得到了连续时间随机动力系统的几乎处处不变性质. 另一方面考虑了非自治动力系统的动态行为, 定义了非自治动力系统的不变测度, 并且证明了渐近紧非自治动力系统存在不变测度. 同时考虑了非自治动力系统在一般空间上的Conley分解定理.
　　 本文的具体安排如下:
　　 第一章为引言, 我们简要的介绍了随机动力系统和非自治动力系统的起源, 发展以及主要的研究内容. 同时也介绍本文的背景知识和研究内容.第二, 三, 四和五章为随机动力系统的内容, 主要研究随机动力系统的相关动态行为. Conley定理是说一个流??在紧空间上的链递归集， 可以表示为所有形如??(??) ? ??的并的补集, 其中??是吸引子, ??(??)是??的吸引域. 最近在随机动力系统中证明了一个类似的结果, 并且这结果在具有吸引条件下的非紧可分完备空间上的随机动力系统也成立.在第二章中, 我们通过介绍推广的链递归集, 得到了在没有吸引条件下的非紧可分完备空间上的随机Conley 定理.第三章考虑了离散随机动力系统的Conley指标的一些性质, 并且把这些性质应用到连续时间和离散时间随机动力系统的分叉问题, 得到了判定随机动力系统分叉的一个充分条件, 并且举了一些例子来说明我们的分叉现象.第四章中,为了得到连续时间随机动力系统的Conley 指标, 我们考虑了连续时间随机动力系统中的孤立不变集只对整数时间是不变的, 克服了从确定性流到随机动力系统推广时遇到的一个本质上的困难. 从而定义了连续时间随机动力系统的Conley指标对. 我们把连续时间随机动力系统的孤立不变集的Conley 指标定义为连通简单系统(connected simply system).第五章考虑了一类连续时间丛随机动力系统的几乎处处不变性质. 并且用这结果重新证明了修改的中心极限定理, 这个定理是被Kifer在文献[Limit thereoms forrandom transformations and processes in random environments, Trans. Amer. Math. Soc.,350(1998), 1481-1518]中所证明.第六章是本文的另一个内容, 我们考虑了非自治动力系统的动态行为. 一方面, 我们考虑非自治动力系统的不变测度, 并且证明了渐近紧非自治动力系统存在这样的不变测度. 另一方面, 我们知道把空间分解为不同的动态部分能够更好地理解复杂系统的动态行为, 我们考虑了非自治动力系统在非紧空间上的Conley 型分解, 也就是说,状态空间可以分解为链递归部分和梯度型部分. 这个结果可以应用到欧几里德空间上(局部紧)的非自治微分方程和无穷维空间上(非紧)的非自治偏微分方程.

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