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边界光滑有限元法在各向异性介质热传导问题中的应用

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摘要

1．1引言

1．2国内外研究现状

1．3本文的主要工作

第二章ES-FEM的基本原理及特点

2．1二维弹性力学问题

2．2线性插值形函数

2．3应变光滑技术

2．4边界型光滑区域

2．5系统离散方程

2．6数值实验

2．7本章小结

第三章用ES-FEM方法求解二维各向异性稳态热传导方程

3．1二维热传导方程

3．2构造二维热传导的伽辽金弱形式

3．3伽辽金弱形式：离散形式

3．4数值算例

3．5本章小结

4．1结论

4．2展望

参考文献

致谢

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摘要

热传导问题存在于各大工程领域中，已成为国内外学者研究的热门课题之一.有限元法(FEM)是求解该类问题最常用的数值方法.随着研究的逐步深入，FEM-些固有的缺陷和问题（如精度低、网格质量、体积闭锁等）也显露出来.FEM出现这些问题的根源在于相容位移场的标准变分原理的所有运算都被限制在网格中.为了解决这些问题，刘桂荣及其团队提出了光滑有限元法(S-FEM).在S-FEM中，光滑应变取代了FEM中的相容应变.光滑应变需要在光滑区域内完成，而光滑区域的选择与原始网格之间没有必然联系.只要相互之间不重叠且能完全覆盖问题域的覆盖都可以作为光滑区域.充分利用有限元网格及其节点、边界和面，先后发展了单元型光滑有限元法(CS-FEM)、节点型光滑有限元法(NS-FEM)、边界型光滑有限元法(ES-FEM)和三维面型光滑有限元法(FS-FEM).与传统FEM相比，S-FEM无需引入任何附加自由度和计算形函数导数，因此不需要等参映射技术，在解决网格畸变和极度大变形问题时具有更好的鲁棒性;另外，S-FEM具有“弱化”效应，能够削弱传统FEM刚度矩阵“过硬”的问题，因此，S-FEM比FEM具有更好的精度和更高的收敛率.某些S-FEM，如NS-FEM能够很好地解决体积闭锁问题.
　　在固体力学问题中，ES-FEM总是展现出超收敛、高精度的数值特性.ES-FEM使用易于生成的低阶三角形单元离散问题域，由三角形单元边界建立边界型光滑区域;利用光滑应变技术和散度定理，建立光滑应变.由于边界型光滑区域已超出了FEM网格的范围，插值形函数的建立已不局限于FEM网格.因此，S-FEM实际上可以认为是有限元与无网格法相结合的产物.ES-FEM已被应用到很多问题中，但在热传导问题中报道还不多见.
　　本文进一步将ES-FEM应用于求解二维各向异性稳态热传导问题.论文首先介绍了目前S-FEM在国内外的研究现状;然后由弹性力学问题，详细介绍和推导了光滑边界有限元方法(ES-FEM)的理论和公式.由悬臂梁和无限大中心开孔平板问题验证了ES-FEM的数值精度和超收敛性质;最后将ES-FEM应用于求解二维各向异性稳态热传导问题中，推导了相应公式，编写了Matlab程序.数值结果表明，ES-FEM在求解热传导问题时具有较高的精度和收敛率，具有广阔的发展空间.

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