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【6h】

表自然数为一个素数与五个素数立方之和的小区间问题

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摘要

华林——哥德巴赫问题旨在研究把满足一定同余条件的自然数表为素数k次方幂之和的可能性，即方程N=pk1+pk2+…+pks，的可解性，这里的s依赖于k.
　　Hardy和Littlewood的圆法是处理华林——哥德巴赫问题的基本方法.如果用E3,j(z)来表示满足一定同余条件且不超过z但不能写成j个素数的立方和的自然数的个数，那么我们有E3j(z)(≤)z(logz)-A，j=5，6，7，8，这里的A是一个正的常数，这个结果最早出现在Hua[10]中.
　　为了得到例外集Ej一个更好的上界，一个想法是:假设广义Riemann猜想(GRH);另一个方法是扩大主区间.对于具体细节，可依次参见JianyaLiuandTaoZhan[7],MontgomeryandVaughan[6],Bauer[2]andJianyaLiuandTaoZhan[8].
　　在本论文中，我们关注的是小区间上的华林——哥德巴赫问题.我们将证明
　　定理1.对每一个充分大的N=0(mod2)，65/84＜δ≤1以及y=（N/6）θ/3，下面的方程{N=p+p31+…p35,|p-N/6|≤3√(N/6)2yδ,|pi-3√N/6|≤y,i=1,…,5,对于θ={15/4(3+δ+ε51/58≤1，257/192+84δ+ε65/84＜δ≤51/58,总是可解的.特别地，当δ=1时，可取y=N5/16+ε.
　　显然地，我们可以用圆法处理这个问题.首先，令P=N1/21+ε，Q=N8/9+ε.定义主区间m如下:m={(α)=a/q+λ:1≤a≤q≤P,(a，q)=1，|λ|≤1/qQ}，而余区间是m=[1/Q，1+1/Q]\m.
　　因此我们只需证明r(N，y)=∫1+1/Q1/QS5(α)T(α)e(-Nα)dα=∫m+∫m＞0.这里，S（α）和T(α)为相应的素变量指数和，将在第一章给出定义.
　　关于主区间，我们有下面的渐近公式:
　　引理2.m定义如上，那么对(V)A＞0，∫mS5(α)T(α)e（-Nα）dα=1/35(G)(N)(J)0(N)+O(y4+δL-A)，这里(J)0(N)=∑m+m1+…+m5=NM1≤m≤M2,N31≤mi≤N32(m1…m5)-2/3(=)y4+δ，并且对于N≡0(mod2)，奇异级数(G)(N)=∑∞q=1B(N,q)/(ψ)6(q)(≥)1.
　　主区间上的结果和之前的此类问题的结果完全类似，所以，关键是有一个余区间上的满意结果.这取决于素变量的指数和估计和一些诸如Hua引理的技术方法.
　　在本篇论文里，我们将用下面的估计，它属于Kumchev[1].先定义指数和fk(α;x,y)=∑x＜n≤x+yΛ(n)e(αnk).这里的y满足y=xθ，θ＜1，k≥2.
　　对于一个给定的P，m(P)表示满足下面条件的α的集合:1≤a≤P,(a,q)=1,|qα-a|≤x-k+2(1-θ)P,mm(P)为m(P)的补集.
　　引理3.设θ是一个实数，满足4/5＜θ≤1.若0＜ρ≤ρ3(θ)，这里ρ3(θ)=min（1/14（2θ-1），1/30（14θ-11），1/6(5θ-4)）.那么对任意固定的ε＞0,supα∈m(P)|f3（α;x，xθ）|＜＜xθ-ρ+ε+xθ+εP-1/2

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