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抛物问题的区域分解和交替方向有限差分算法

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摘要

符号说明

第一章 引言

§1．1 有限差分算法

§1．2 交替方向方法

§1．3 区域分解算法

第二章 一维问题的区域分解有限差分算法

§2．1 网格剖分

§2．2 区域分解算法

§2．3 数值试验

第三章 二维抛物问题交替方向有限差分法

§3．1 网格剖分

§3．2 交替方向差分算法

§3．3 数值实验

第四章 二维抛物问题区域分解有限差分法

§4．1 子区域剖分

§4．2 区域分解算法

§4．3 误差分析

参考文献

致谢

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摘要

数学物理及工程问题，如大型水利设施的建设、油气藏的勘探与开发、航天器的设计，无不归结为对高维大型偏微分方程模型的求解。由于这些问题计算规模大，并且计算区域不规则，给科学计算带来很大的困难。但同时，这些问题对计算精度的要求却越来越高，计算机的计算速度已经不能满足实际需求。在这种形势以及并行计算日趋成熟的条件下，区域分解算法成为求解偏微分方程的一种高效实用的计算方法，并在各个行业得到重要的运用。
　　 简单说来，区域分解算法就是把计算区域分成若干形状尽可能规则的子区域，从而将原问题转化为在各子区域上的问题。区域分解算法有着其他算法不具备的优越性:不但缩小了计算规模，而且使得整个区域的计算可以高度并行的实行，缩短了计算时间，此外，由于子区域形状比较规则，求解相应子问题可以使用一些已经非常成熟的算法、软件，大大减少了具体问题的工作量。
　　 本文作者在前人的基础上，对区域分解算法做了研究工作。本文主要内容如下:第一章是引言部分，主要针对区域分解算法和有限差分算法给出了一些预备知识的介绍，总结了前人的工作。第二章中，我们利用区域分解差分算法求解一维热传导问题。在经典显格式的基础上导出Saul'yew对称隐式格式，并得到误差估计。数值算例表明，该算法比全隐格式更逼近真解。第三章，我们利用交替方向法求解二维热传导方程。首先利用一维方程导出高阶差分格式，然后通过引入中间层，得到高阶交替方向差分格式，并且证明了该格式的稳定性，数值算例表明，该格式确实能达到O(△t2+h4)。最后一章在第三章交替方向的基础上，利用区域分解法求二维抛物方程的数值解。本章中引入子区域对区域进行剖分，利用逐层迭代的方法求解各界面子域的值，然后将各子区域内的值拼接起来即可得到整个求解区域内的数值解，最后得到算法的误差估计。

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