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分数阶PID控制器及参数不确定分数阶系统稳定域分析

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摘要

分数阶微积分(Fractional-Order Calculus)是传统整数阶微积分的广义化形式,它和整数阶微积分同时产生,且具有和整数阶微积分一样相似的概念和分析工具。分数阶控制系统和整数阶控制系统相类似,都具有时域、频域及复域不同的表示方法；另外,它还具有稳定性、鲁棒性、可观性、可控性等分析方法,所有这些方法都是研究分数阶控制系统的基础。随着分数阶微积分在控制系统中研究的不断深入,出现了分数阶控制器与分数阶被控对象,其中分数阶PIλDμ控制器是传统整数阶PID控制器的拓展,它比整数阶PID控制器多了两个可调参数,即积分阶次λ和微分阶次μ。因此,可取得比整数阶PID控制器更好的动态性能。然而,由于分数阶控制尚处于研究阶段,对分数阶控制器及分数阶控制系统稳定性的研究方面还有许多进一步待研究的内容。本文针对分数阶PIλDμ控制器的设计及由分数阶PIλDμ控制器构成的参数不确定控制系统的稳定性进行了相应的研究,具体工作包括以下内容:
　　 1.对分数阶微积分数学的发展、基本理论和性质等进行了阐述,并对分数阶微积分数学在控制系统中的应用、分数阶PIμDμ控制器设计及其稳定性分析方法等问题进行了综述。
　　 2.对分数阶控制系统及分数阶PIλDμ控制器的阶次及仿真步长的变化对性能影响进行了分析。通过对分数阶控制系统微分方程的数值求解,分析了控制系统的仿真步长及微分阶次的变化对控制系统性能产生的影响。另外,当分数阶PIλDμ控制器的积分阶次λ和微分阶次μ在范围(0,2)内变化时,从Bode图和时域阶跃响应图上,分别分析了分数阶PIλDμ控制器积分阶次和微分阶次的选择对控制系统性能的影响,并阐述了两图的联系。通过对仿真步长、控制系统的阶次及分数阶PIλDμ控制器阶次的选择对控制系统性能的影响进行分析,为后续章节和工程实际应用中,如何根据控制系统性能的要求合理的选择参数提供了依据。
　　 3.利用控制系统的鲁棒性条件,针对参数不确定时滞系统设计了分数阶PIλDμ控制器。当分数阶控制系统在满足相位裕度和幅值裕度的条件下,针对被控对象的时间常数具有不确定变化,提出了对时间常数的不确定变化具有鲁棒性的五参数分数阶PIλDμ控制器的设计方法。同时,利用相位裕度和相位波特率在Bode图上指定处的截止频率是处于相对平坦的鲁棒性条件,针对被控对象的增益常数具有不确定的变化,提出了对增益变化具有鲁棒性的五参数分数PIλDμ控制器的设计方法。通过两个算例分别对两种分数阶PIλDμ控制器的设计方法进行了验证和仿真实验分析,并与相应的整数阶PID控制器的性能进行比较。其仿真实验结果表明,在满足鲁棒性条件下设计的分数阶PIλDμ控制器,具有比传统的整数阶PID控制器较好的鲁棒性及系统响应性能。
　　 4.针对参数不确定时滞系统,提出了采用分数阶PIλDμ控制器求其系统稳定域的算法。利用Kharitonov理论,将参数不确定时滞系统分解成若干个参数确定的子系统,并求各个子系统的闭环其准特征多项式；然后采用D分解法,求取各个准特征多项式在获得最大稳定域时的分数阶PIλDμ及PIDμ控制器参数λ和μ。以此参数λ和μ值重新构建分数阶PIλDμ控制器,并计算各个子系统的稳定域,各个子系统稳定域的交集,即为参数不确定时滞系统的稳定域。通过数值和图像结果表明:所提出的稳定域算法对分析和设计复杂的参数不确定时滞分数阶控制系统较为简单且行之有效。且本算法可为参数不确定时滞系统获得分数阶PIλDμ控制器的稳定域,即参数域。将为后续使用最优化方法设计分数阶PIλDμ控制器时,提供了参数搜索的寻找范围,大大缩短了参数寻优时间和计算量,从而提高了分数阶PIλDμ控制器的设计效率。
　　 5.针对参数和阶次同时具有不确定的分数阶线性时不变被控对象,提出了一种基于稳定域分析的分数阶PIλ控制器的设计方法。依据参数和阶次的上下届,利用Kharitonov理论将参数不确定分数阶线性时不变被控对象分解成若干个子系统,并构建相应子系统的闭环准特征多项式；然后,采用D分解法构建各个子准特征多项式的稳定域,并获得在相对较大稳定域时分数阶PIλ控制器的参数λ值；再在(κp,κI)参数平面内构建各个子准特征多项式稳定域的交集,此交集便是分数阶PIλ控制器参数κp,κI的取值范围。由此,便可以获得所设计的分数阶PIλ控制器所有参数的集合。在参数集内任取分数阶PIλ控制器参数κp、κI幻的值,对分数阶参数不确定线性时不变系统进行阶跃响应分析,其结果表明,各个子系统的阶跃响应曲线都在名义子系统的阶跃响应曲线的上下波动,且系统的超调量小,稳定性较好,且由此设计的分数阶PIλDμ控制器表现出了对分数阶参数不确定线性时不变系统较强的鲁棒性。
　　 6.针对区间参数不确定分数阶时滞系统,提出了求分数阶PIλDμ控制器鲁棒稳定域的方法,并测试了其稳定域具有的鲁棒性。采用边界理论,将分数阶闭环控制系统的准特征多项式族分解为若干个子顶点准特征多项式,然后利用值集构建凸多面体的棱边。通过D分解方法求解各个子顶点准特征多项式在最大稳定域时的分数阶PIλDμ控制器的参数λ和μ,以获得的参数λ和μ作为分数阶PIλDμ控制器的积分和微分阶次,求取各个子顶点准特征多项式稳定域的交集。在稳定域内任意取分数阶PIλDμ控制的参数κp、κI、κd,用值集理论和零排除原理,检测稳定域的鲁棒稳定性。通过算例对其进行了验证,结果表明,此方法对于求取稳定域且验证稳定域的鲁棒性时简单而有效的。同时,该方法对分数阶参数不确定时滞系统所设计的鲁棒分数阶PIλDμ控制器时,能够为其提供鲁棒稳定性判断的理论支持。
　　 7.针对分数阶被控对象和分数阶PIλDμ控制器,把模糊控制理论与其相结合,采用分数阶微积分方程的数值求解的方法,提出了模糊自适应分数阶PIλDμ控制器的实现步骤与方法。由于分数阶微积分定义的不同,目前没有统一的离散化方法和数值解法,尤其被控对象是分数阶的情况下,研究其模糊分数阶PIλDμ控制器数值实现方法的较少。因此,依据分数阶微积分方程的数值解法,并计算由分数阶被控对象与模糊自适应分数阶PIλDμ制器所构成的分数阶闭环控制系统的数值表达式,并给出了详细的数值计算推导过程。在此基础上提出了模糊自适应分数阶PIλDμ控制器的实现方法。最后,通过对所设计的模糊自适应分数阶PIλDμ控制器进行单位阶跃仿真分析。并对整数阶PID控制器、分数阶PIλDμ控制器及模糊自适应分数阶PIλDμ控制器进行阶跃响应性能比较。文中提出的模糊自适应分数阶PIλDμ控制器的方法,以后可为分数阶被控对象设计模糊神经网络分数阶PIλDμ控制器等相关的模糊控制器提供一种可以借鉴和参考的方法。
　　 最后对论文的主要工作进行了概括性的总结,阐述了所获得的一般性结论。列出了论文工作的主要创新之处,对后续的研究工作进行了展望。

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