一类Volterra积分-微分方程的解析解研究

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Volterra积分-微分方程频繁出现在生物学、物理学、工程等实际问题的数学建模中。由于该类数学模型带有未知核函数的积分项，可更好的反映系统的非局部及记忆反馈性质，相比传统的偏微分方程似乎更接近模拟实际问题。因此对Volterra型积分-微分方程的理论与解法研究为当今的一个热点课题。本文对一类带有广义Mittag-Leffler函数型、幂律函数型及指数因子型记忆核的Volterra型积分-微分方程的解析解展开研究：
　　（1）在无界区域上分别讨论了带有三种记忆核的高维非齐次抛物型Volterra积分-微分（Parabolic Volterra Integro-Differential，PVI-D）方程的解析解。基于积分变换及特殊函数得到了包含广义Mittag-Leffler函数、Fox-H函数、积分算子以及积分形式的无穷级数解表达式。其次得到了带有幂律型记忆核的一维齐次PVI-D方程在初值为狄克拉-δ函数下的解析解。最后对带有幂律型记忆核的齐次PVI-D方程的解析解进行数值模拟，模拟结果表明解析解在χ=0处达到峰值，其图像呈Gaussian对称形态且具有Gaussian缓慢衰减分布特征。
　　（2）在半无界区域上考虑了带有三种记忆核的一维非齐次PVI-D方程的解析解。基于Fourier-Sine变换、Laplace变换、Fourier-Cosine变换及Mittag-Leffler函数和Fox-H函数的性质得到了由广义Mittag-Leffler函数、Fox-H函数组成的无穷级数解与无限域边界条件下的解析形式相似。
　　（3）研究了带有三种记忆核的一维、二维、三维非齐次PVI-D方程分别在有界限区.间、圆域、球域上的解析解。基于分离变量、积分变换及特殊函数得到了由带有三角函数、积分算子、广义Mittag-Leffler函数、Bessel函数及Legendre函数的多重无穷级数解析表达式。最后对带有幂律型记忆核的二维齐次PVI-D方程在圆域上的解析解进行数值模拟，模拟结果表明解析图像呈帽状且具有缓慢耗散的特征，同时给出曲面等高线变化图可清楚看到能量耗散过程，等高线浓密与稀疏的分布决定能量耗散程度。
　　（4）在无界、有界区域上分别考虑了一类带有三种时间记忆核的非齐次Fokker-Planck方程的解析解，基于分离变量法和积分变换得到了相应的解析表达式。

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作者
赵云;
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作者单位

西安理工大学;

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授予单位西安理工大学;
学科数学
授予学位硕士
导师姓名赵凤群;
年度 2017
页码
总页数
原文格式 PDF
正文语种中文
中图分类积分微分方程;
关键词
Volterra积分-微分方程; 广义Mittag-Leffler函数; 指数因子型记忆核; 幂律函数型; 分离变量;

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