平面上带校准场的Schrödinger方程驻波解的存在性及其稳定性

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本文主要研究一类源于Chern-Simons理论的平面上带校准场的Schr(o)dinger方程驻波解的存在性，稳定性，数量性质及渐近性态.
　　本文共分五章:
　　在第一章中，我们概述本文所研究问题的背景及国内外研究现状，并简要介绍本文的主要工作及相关的预备知识和一些记号.
　　在第二章中，我们研究平面上一类非线性Chern-Simons-Schr(o)dinger方程-△u+ωu+(h2(|x|)/|x|2+∫+∞|x|h(s)/su2(s)ds）u=|u|p-2u，x∈R2（E1）具有事先给定的L2模的解的存在性与多重性，其中p∈[4，+∞）及h(s)=1/2∫s0ru2(r)dr.我们通过寻找能量泛函I(u)=1/2∫R2▽u|2+1/2∫R2|u|2/|x|2(∫|x|0s/2u2(s)ds)2-1/p∫R2|u|p限制在集合Sr(c)={u∈H+r(R2):‖u‖2L2(R2)=c},c＞0上的临界点来获得这样的解.当p=4时，我们给出了I(u)限制在Sr(c)上的临界点不存在的一个充分条件并且得到了I(u)限制在Sr（8π）上的无穷多个临界点.当p∈(4，+∞)时，I(u)在Sr(c)上无下界，所以惯用的在Sr(c)上寻找I（u）的极小点的方法失效.我们通过在Sr(c)的一个子流形上运用约束极小法，证明了对于特定的c＞0.I(u)在Sr(c)上存在临界点.进一步，运用极小极大原理，我们证明了，当c∈（0，4π/p-3）时，I(u)在Sr(c)上有无穷多个临界点.上述结果推广了Byeon，Huh和Seok(J.Funct.Analysis.2012)及Huh(J.Math.Phys.2012)中的主要结果，已发表于(Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.2017).
　　在第三章中，我们研究下列Chern-Simons-Schr(o)dinger方程{-△u+ωu+λ(h2(|x|)/|x|2+∫+∞|x|h(s)/su2(s)ds)u=|u|p-2u，x∈R2，u∈H1r(R2)(E2)极小能量变号解的存在性及其渐近性态.其中ω，λ＞0，p＞6及h(s)=1/2∫s0ru2(r)dr.结合约束极小方法和数量形变引理，我们证明这个问题至少存在一个变号一次的极小能量变号解uλ.更进一步地，我们证明uλ的能量严格大于方程（E2）的基态解能量的二倍.最后，我们分析了当λ↘0时，uλ的渐近性态.这些结果已发表于(J.Math.Anal.Appl.2017).
　　在第四章中，我们研究平面上一类带校准场的Schr(o)dinger方程{iD0φ+(D1D1+D2D2)φ+|x|2φ=-λ'|φ|2φ，(a)0A1-(a)1A0=-Im((φ)D2φ),(a)0A2-(a)2A0=Im（φD1φ)，(a)1A2-(a)2A1=-1/2|φ|2(E3)驻波解的存在性，稳定性及数量性质，其中i表示虚数单位，对于(t，x1，x2)∈R1+2，(a)0=(a)/(a)t，(a)1=(a)/(a)x1，(a)2=(a)/(a)x2，φ:R1+2→C表示复标量场，Aμ:R1+2→R是校准场，Dμ=(a)μ+iAμ是共变导数，μ=0，1，2，λ'＞0表示相互作用势的强度.这个问题是一个源于Chern-Simons理论的质量临界Schr(o)dinger方程.当这一问题非聚焦时（λ'＜1），我们证明了任意质量的稳定驻波解的存在性.当这一问题聚焦时(λ'≥1)，我们证明了小质量的稳定驻波解的存在性，并且给出了这些驻波解的一个质量塌陷行为.上述结果是对Bergé，Bouard和Saut(Nonlinearity1995)及Huh(Nonlinearity2009)中关于方程（E3）动态刻画结果的补充.
　　在第五章中，我们研究下列非线性Chern-Simons-Schr(o)dinger方程-△u+ωu+|x|2u+λ(h2(|x|)/|x|2+∫+∞|x|h(s)/su2(s)ds)u=|u|p-2u，x∈R2（E4）标准化解的存在性，多重性，数量性质及其渐近性态，其中ω∈R，λ＞0，p＞4且h(s)=1/2∫s0ru2(r)dr.运用约束极小法和极小极大原理，我们证明了这一问题至少存在两个标准化解，其中一个是基态解，另一个是激发态解（高能量解）.进一步，我们分析了基态解的渐近性态和数量性质.上述结果把Bellazzini，Boussaid，Jeanjean和Visciglia(Comm.Math.Phys.2017)中关于带雪茄型位势的半线性Schr(o)dinger方程的主要结果推广到了带调和位势的Chern-Simons-Schr(o)dinger方程（E4），已被(Z.Angew.Math.Phys.2018)接收发表.

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作者
罗肖;
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作者单位

华中师范大学;

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授予单位华中师范大学;
学科基础数学
授予学位博士
导师姓名李工宝;
年度 2018
页码
总页数
原文格式 PDF
正文语种中文
中图分类非线性偏微分方程;
关键词
Chern-Simons理论; 校准场; Schr(o)dinger方程; 驻波解; 存在性; 稳定性;

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