若干非线性微分方程的对称性、反散射变换以及解析解的研究

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致谢

1 绪论

1.1 研究背景及意义

1.2 研究内容与拟采取的方法

2 非线性薛定谔方程的Lie对称性分析、守恒律和解析解

2.1 引言

2.2 广义高阶导数NLS方程的Lie对称性分析、守恒定律及精确解

2.2.1 Lie对称性分析

2.2.2 对称约化

2.2.3 显式幂级数解

2.2.4 守恒律

2.2.5 精确的行波解

2.3 （2+1）维手性NLS方程的Lie对称分析、守恒定律及解析解

2.3.1 Lie对称分析

2.3.2 对称约化

2.3.3 幂级数解

2.3.4 守恒律

3 四阶非线性薛定谔方程的反散射变换和多孤子解

3.1 引言

3.2 直散射变换

3.3 反散射变换

3.4 多孤子解

4 具有非零边界条件的实验室框架下的非线性薛定谔方程的黎曼-希尔伯特方法

4.1 引言

4.2 直接散射问题

4.2.1 初步:Lax对、黎曼曲面和均匀化坐标

4.2.2 Jost解和分析性

4.2.3 散射矩阵

4.2.4 对称性

4.2.5 离散频谱和留数条件

4.2.6 z→∞和z→0的渐进

4.3 反散射问题:单极点

4.3.1 RH问题

4.3.2 留数条件和重建公式

4.3.3 迹公式和“θ”条件

4.3.4 无反射

4.4 孤子解

4.4.1 稳定孤子

4.4.2 非稳定孤子

4.4.3 多孤子解

4.5 反散射问题:双极点

4.5.1 留数条件

4.5.2 RH问题

4.5.3 重建潜力公式

4.5.4 迹公式和“θ”条件

4.5.5 孤子解

5 几类非线性微分方程的孤子解及稳定性分析

5.1 引言

5.2 广义Hirota方程的光孤子、复孤子、高斯孤子和幂级数解

5.3 广义NLS方程的调制不稳定性分析、亮、暗、复孤子解

5.3.1 稳定性分析解

5.3.2 稳定波解

5.3.3 调制不稳定性分析

5.4 二维复Ginzburg-Landau方程的稳定性分析、光孤子和复孤子解

6 (3+1)维非线性演化方程的双线性形式、lump解、lumpoff和瞬时/怪怪波解

6.1 引言

6.2 (3+1)维不可积KdV方程的怪波、同宿呼吸波和孤子波

6.2.1 孤子波解

6.2.2 同宿呼吸波和怪波

6.3 (3+1)维B型Kadovtsev-Petviashvili方程的双线性形式、lump解、lumpoff和瞬时波解

6.3.1 lump解

6.3.2 lumpoff解

6.3.3 瞬时/怪波解

7 总结与展望

7.1 本文总结

7.2 展望

参考文献

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