间断有限元方法求解拉氏框架下的欧拉方程以及二阶守恒重映算法

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拉格朗日框架下的可压缩欧拉方程有几种不同的表达方式，本文针对可压缩欧拉方程的（半）拉格朗日微分形式，推导出它的积分弱形式，并用间断有限元方法对其进行空间离散，由此得到两种新的中心型拉格朗日格式。第一种拉格朗日格式是在空间离散过程中采用Lax-Friedrichs(L-F)或Harten-Lax-vanLeer contact wave(HLLC)流通量，顶点速度采用[Cheng J，Shu CW,J ComputPhys，(2007)]中Roe平均算法。时间离散采用与空间离散相同阶数的Runge-Kutta(RK)型离散方法，并使用斜率限制器抑制数值解中可能产生的虚假振荡，得到的拉格朗日格式满足质量、动量和能量守恒，并且在移动和变形的拉格朗日网格上可以达到二阶精度，保持本质非振荡。一维和二维数值算例表明了格式的有效性。
　　上述的拉格朗日格式虽然有很多优势，但是并不满足几何守恒律，这与顶点速度的计算方式、数值通量和限制器的选取都有一定关系，导致数值格式的稳健性差。为提高格式的稳健性，本文给出了第二种新的中心型拉格朗日格式。该拉格朗日格式仍然采用间断有限元方法进行空间离散，RK型方法进行时间离散。不同的是:空间离散过程中采用[Maire PH，Abgrall R，Breil J，et al.SIAM JSci Comput，(2007)]中节点求解器将顶点速度和单元内界面上的数值通量一起求解，其中边的速度等于边顶点速度的平均。另外新格式采用[Jia ZP, Zhang SD，JComput Phys，(2011)]中限制器来抑制数值解可能出现的非物理振荡。由此得到的新格式不仅满足质量、动量和能量守恒，还满足几何守恒律，并且在移动和变形的拉格朗日网格上高阶收敛。数值算例表明该格式具有很好的稳健性、收敛性和本质非振荡性。
　　用拉格朗日格式求解流体力学问题时，随着时间的推进，计算网格会扭曲变形，影响格式精度，甚至导致计算中断。因此要在网格变形较大时进行网格重分和物理量重映，以保证网格质量和格式精度。本文针对上述两种拉氏计算格式，给出了一种守恒重映算法。重映过程首先采用[Margolin LG，Shashkov M，J Comput Phys，(2003)]中重映方法将旧网格上分片一次多项式重映为新网格上函数的单元平均值，并用[Kucharik M，Shashkov M，Wendroff B，J Comput Phys，(2003)]中修补算法对单元平均值进行调整，保证单元平均值的保界性。然后通过重构获得新网格上分片一次多项式，再使用Van Leer限制器对新网格上的梯度进行限制，使之不出现新的极值。整个重映过程保证了守恒，保界和二阶收敛性质。

著录项

作者
李珍珍;
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作者单位

中国科学技术大学;

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授予单位中国科学技术大学;
学科计算数学
授予学位博士
导师姓名蔚喜军;
年度 2014
页码
总页数
原文格式 PDF
正文语种中文
中图分类欧拉积分;
关键词
欧拉方程; 二阶守恒重映算法; 间断有限元方法; 拉氏框架;

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