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An extension of KAM theory to quasi-periodic breather solutions in Hamiltonian lattice systems.

机译：将KAM理论扩展到哈密顿晶格系统中的准周期呼吸解。

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摘要

We prove the existence and linear stability of breather solutions in a one-dimensional Hamiltonian infinite lattice system via the KAM technique. The extension of KAM theory to infinite-dimensional systems was initiated in the mid 1980's by Fröhlich, Spencer and Wayne and by Vittot and Bellissard (VB), it then found a firm ground in the PDEs setting in the works of Craig, Wayne, Bourgain, Pöschel and Kuksin. The use of KAM theory to find breather solutions (quasi-periodic in time and exponentially localized in space) in lattice systems (e.g., VB), was suggested by S. Aubry in the mid 1990's and later carried out by X. Yuan (2002). For a system of identical, weakly-coupled anharmonic oscillators with general on-site potentials and under the effect of long-range interaction, we establish the existence of quasi-periodic motions which, in the uncoupled limit, correspond to any number of N excited lattice sites oscillating altogether quasi-periodically, while all other sites remain at rest. The frequencies of the excited sites in the perturbed case are only slightly deformed from those of the uncoupled case, while the amplitudes of oscillation of all other sites decrease exponentially with the lattice index. This result follows as a corollary of an abstract KAM type of theorem whose proof we will outline and whose importance resides in its applicability to more general 1d lattice systems than the one we will describe in the application. Our KAM theorem is more general than Yuan's analogous theorem and our proof is made simpler for systems of physical interest.
机译：我们通过KAM技术证明了一维哈密顿无限晶格系统中通气解的存在性和线性稳定性。 KAM理论在1980年代中期由Fröhlich，Spencer和Wayne以及Vittot和Bellissard（VB）发起，后来扩展到PDE中，在Craig，Wayne，Bourgain的著作中奠定了坚实的基础。 ，Pöschel和Kuksin。 S. Aubry在1990年代中期提出了使用KAM理论在晶格系统（例如VB）中寻找通气解（在时间上准周期并且在空间上以指数方式局部化）的方法，后来由X. Yuan（2002年）进行了研究。 ）。对于具有相同现场势且具有弱相互作用的相同弱耦合非谐振荡器系统，在长距离相互作用的影响下，我们建立了准周期运动的存在，在非耦合极限下，该周期运动对应于任意数量的N激发晶格位点全部准周期振荡，而所有其他位点保持静止。扰动情况下的激发位点的频率与非耦合情况下的激发点的频率仅略有变形，而所有其他位点的振荡幅度均随晶格指数呈指数下降。这一结果是抽象KAM类型定理的推论，我们将概述其证明，其重要性在于其对比我们将在本申请中描述的更广泛的1d晶格系统的适用性。我们的KAM定理比Yuan的类似定理更笼统，并且我们的证明对于具有实际意义的系统更简单。

著录项

  • 作者

    Viveros Rogel, Jorge.;

  • 作者单位

    Georgia Institute of Technology.;

  • 授予单位 Georgia Institute of Technology.;
  • 学科 Mathematics.
  • 学位 Ph.D.
  • 年度 2007
  • 页码 127 p.
  • 总页数 127
  • 原文格式 PDF
  • 正文语种 eng
  • 中图分类
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