Dynamik analytischer Endomorphismen auf der Sphäre

M. Denker; S. Heinemann

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Dynamik analytischer Endomorphismen auf der Sphäre

机译：球面上分析同构的动力学

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Bekanntlich führt die Lösung des Nullstellenproblems p(z) = 0 eines komplexen Polynoms p(z) = a_0z~n + ...a_(n-1)z + a_n mittels des Newton-Verfahrens auf die Iteration der rationalen Funktion f(z) = z - (p(z))/(p'(z)). Ein Wert z_0 ist nämlich genau dann eine Nullstelle von p, wenn er ein anziehender Fixpunkt von f ist. Startet man den Iterationsprozeß z_n:=f(z_(n-1)) mit z_1 in der Nähe des Fixpunktes z_0, so konvergiert z_n gegen z_0. Man weiß jedoch, daß nicht alle Startwerte zu einer Lösung führen. Man kann sogar sehr schnell einsehen, daß das Polynom p(z) = z~3 - 2z + 2 vom Grad 3 zu der Newton-Abbildung f(z) = (2z~3 - 2)/ (3 z~2 - 2) führt, die einen anziehenden periodischen Orbit der Periode 2 besitzt, der keiner Nullstelle entspricht. Solche Polynome, die für Grad ≥ 3 existieren, werden nach Smale als schlecht bezeichnet; sein 6. Problem fordert, diese zu charakterisieren).

机译：众所周知，复多项式p（z）= a_0z〜n + ... a_（n-1）z + a_n的零点问题p（z）= 0的解导致有理函数f（例如）= z-（p（z））/（p'（z））。当且仅当它是f的吸引定点时，z_0的值才是p的零。如果以固定点z_0附近的z_1开始迭代过程z_n：= f（z_（n-1）），则z_n收敛到z_0。但是，众所周知，并非所有的起始值都能导致解决方案。您甚至可以很快看到多项式p（z）= z〜3-2z + 2从3级到牛顿映射f（z）=（2z〜3-2）/（3 z〜2-2 ），其周期2的吸引人的周期性轨道不对应于零。这样的多项式存在度≥3时就被认为是坏的。他的第六个问题要求对其进行表征）。

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来源
《Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung》 |1996年第1期|p.12-29|共18页
作者
M. Denker; S. Heinemann;
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收录信息
原文格式 PDF
正文语种 ger
中图分类数学;
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