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A nonholonomic approach to isoparallel problems and some applications

机译：等距问题的非完整方法及其一些应用

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Isoparallel problems are a class of optimal control problems on principal fibre bundles endowed with a connection and a Riemannian metric on the base space. These problems consist of finding the shortest curve on the base among those with a given parallel transport operator. It has been shown that when the structure group of the principal bundle admits a bi-invariant metric, the normal solutions are precisely the projections of the geodesics (relative to an appropriate Riemannian metric) on the bundle. In this work we obtain a generalization of this result that holds true for any structure group, by transforming the isoparallel problem into a nonholonomic problem of a generalized type. The latter reduces to the geodesic problem if the structure group has a bi-invariant metric. We illustrate the theory with an application to the optimal control of an elastic rolling ball (the plate-ball system), relating some aspects of this problem to the dynamics of a simple pendulum. Finally, we indicate how the study of locomotion of microorganisms can benefit from this approach. This work shows how optimal control and generalized nonholonomic mechanics are related within the context of Lagrangian reduction.
机译：等并行问题是在基空间上具有连接和黎曼度量的主要光纤束上的一类最优控制问题。这些问题包括在具有给定并行传输算子的那些曲线中找到最短的曲线。已经表明，当主束的结构组接受双不变度量时，正则解正好是测地线在束上的投影（相对于适当的黎曼度量）。在这项工作中，通过将等平行问题转换为广义类型的非完整问题，我们得到了对任何结构组均成立的结果的推广。如果结构组具有双不变度量，则后者简化为测地线问题。我们通过将理论应用于弹性滚动球（板球系统）的最佳控制来说明该理论，并将该问题的某些方面与简单摆的动力学联系起来。最后，我们指出了微生物运动的研究如何从这种方法中受益。这项工作表明，在拉格朗日归约的背景下，最佳控制和广义非完整力学是如何相关的。

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