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Error analysis of a finite element method with GMMP temporal discretisation for a time-fractional diffusion equation

机译：时间分数阶扩散方程的GMMP时间离散化有限元方法的误差分析

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A time-fractional initial-boundary value problem is considered, where the spatial domain has dimension d is an element of {1, 2, 3}, the spatial differential operator is a standard elliptic operator, and the time derivative is a Caputo derivative of order alpha is an element of (0, 1). To discretise in space we use a standard piecewise-polynomial finite element method, while for the temporal discretisation the GMMP scheme (a variant of the Grunwald-Letnikov scheme) is used on a uniform mesh. The analysis of the GMMP scheme for solutions that exhibit a typical weak singularity at the initial time t = 0 has not previously been considered in the literature. A global convergence result is derived in L-infinity (L-2), then a more delicate analysis of the error in this norm shows that, away from t = 0, the method attains optimal-rate convergence. Numerical results confirm the sharpness of the theoretical error bounds. (C) 2019 Elsevier Ltd. All rights reserved.
机译：考虑时间分数阶初边值问题，其中空间域的维数d是{1、2、3}的元素，空间微分算子是标准椭圆算子，时间导数是的Caputo导数order alpha是（0，1）的元素。为了在空间上离散化，我们使用标准的分段多项式有限元方法，而对于时间离散化，在统一网格上使用GMMP方案（Grunwald-Letnikov方案的一种变体）。对于GMMP方案，对于在初始时间t = 0时表现出典型的弱奇点的解决方案的分析，以前没有在文献中考虑过。在L-无穷大（L-2）中导出了一个全局收敛结果，然后对该规范中的误差进行更精细的分析表明，该方法从t = 0开始，获得了最佳速率收敛。数值结果证实了理论误差界限的尖锐性。 （C）2019 Elsevier Ltd.保留所有权利。

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