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Tradeoff Between Controllability and Robustness in Diffusively Coupled Networks

机译：扩散耦合网络的可控性与鲁棒性之间的权衡

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摘要

In this article, we demonstrate a conflicting relationship between two crucial properties— controllability and robustness —in linear dynamical networks of diffusively coupled agents. In particular, for any given number of nodes $N$ and diameter $D$ , we identify networks that are maximally robust using the notion of Kirchhoff's index and then analyze their strong structural controllability. For this, we compute the minimum number of leaders, which are the nodes directly receiving external control inputs, needed to make such networks controllable under all feasible coupling weights between agents. Then, for any $N$ and $D$ , we obtain a sharp upper bound on the minimum number of leaders needed to design strong structurally controllable networks with $N$ nodes and $D$ diameter. We also discuss that the bound is best possible for arbitrary $N$ and $D$ . Moreover, we construct a family of graphs for any $N$ and $D$ such that the graphs have maximal edge sets (maximal robustness) while being strong structurally controllable with the number of leaders in the proposed sharp bound. We then analyze the robustness of this graph family. The results suggest that optimizing robustness increases the number of leaders needed for strong structural controllability. Our analysis is based on graph-theoretic methods and can be applied to exploit network structure to co-optimize robustness and controllability in networks.
机译：在本文中，我们展示了两个重要属性 - <斜体XMLNS：mml =“http://www.w3.org/1998/math/mathml”xmlns：xlink =“http：//www.w3之间的冲突关系。 ORG / 1999 / XLink“>可控性和<斜体XMLNS：MML =”http://www.w3.org/1998/math/mathml“xmlns：xlink =”http://www.w3.org / 1999 / XLINK“>鲁棒性 - 弥漫性耦合代理的线性动力学网络。特别是，对于任何给定数量的节点<内联公式xmlns：mml =“http://www.w3.org/1998/math/mathml”xmlns：xlink =“http://www.w3.org/1999 / xlink“> $ n $ 和discess $ d $ ，我们识别使用Kirchhoff索引的概念最大稳健的网络，然后分析其强大的结构可控性。为此，我们计算最小的领导者，即直接接收外部控制输入的节点，所以在代理之间的所有可行的耦合权重下可控制的网络可以控制。然后，对于任何<内联公式xmlns：mml =“http://www.w3.org/1998/math/mathml”xmlns：xlink =“http://www.w3.org/1999/xlink”> < tex-math noton =“latex”> $ n $ 和<内联公式xmlns：mml =“http://www.w3.org/1998/math/mathml” xmlns：xlink =“http://www.w3.org/1999/xlink”> $ d $ ，我们获得了一个尖锐的在使用<内联公式XMLNS中设计强大的结构可控网络所需的最小领导者的上限：MML =“http://www.w3.org/1998/math/mathml”xmlns：xlink =“http：// www.w3.org/1999/xlink"> $ n $ 节点和<内联惯例xmlns：mml =“http：/ /www.w3.org/1998/math/mathml“xmlns：xlink =”http://www.w3.org/1999/xlink“> $ d $ 直径。我们还讨论了绑定是最好的 $ n $ 和 $ d $ 。此外，我们为任何<内联公式XMLNS构建一个图形的图形：MML =“http://www.w3.org/1998/math/mathml”xmlns：xlink =“http://www.w3.org/ 1999 / xlink“> $ n $ 和<内联公式xmlns：mml =”http://www.w3.org/ 1998 / MATH / MATHML“XMLNS：XLINK =”http://www.w3.org/1999/xlink“> $ d $ 这使得图表具有最大边缘集（最大稳健性），同时强大地在结构上可控地控制所提出的尖锐界限的领导者的数量。然后，我们分析了这个图形家族的鲁棒性。结果表明，优化稳健性增加了强大结构可控性所需的领导者数量。我们的分析基于图形 - 理论方法，可以应用于利用网络结构来共同优化网络中的鲁棒性和可控性。

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