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Perfect codes in the discrete simplex

机译：离散单纯形中的完美代码

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摘要

We study the problem of existence of (nontrivial) perfect codes in the discrete n-simplex Δ_ℓ~n := {(x_0,…,x_n) : x_i ∈ Z_+, ∑_i x_i = ℓ} under ℓ_1 metric. The problem is motivated by the so-called multiset codes, which have recently been introduced by the authors as appropriate constructs for error correction in the permutation channels. It is shown that ℓ-perfect codes in the 1-simplex Δ_ℓ~1 exist for any ℓ ≥ 2e + 1, the 2-simplex Δ_ℓ~2 admits an e-perfect code if and only if ℓ - 3e +1, while there are no perfect codes in higher-dimensional simplices. In other words, perfect multiset codes exist only over binary and ternary alphabets.
机译：我们研究了在ℓ_1度量下离散n-单形Δ_ℓ〜n：= {（x_0，…，x_n）：x_i∈Z_ +，∑_i x_i =ℓ}中存在（非平凡）完美代码的问题。该问题是由所谓的多集码引起的，该码集最近由作者引入，作为用于置换信道中的纠错的适当构造。结果表明，对于任何≥≥2e + 1，在1-simplexΔ_ℓ〜1中都存在ℓ-完美码，当且仅当ℓ-3e +1时，2-simplexΔ_ℓ〜2接受e-perfect码。在高维单纯形中不是完美的代码。换句话说，完美的多集代码仅存在于二进制和三进制字母上。

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