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Partial Euler Products on the Critical Line

机译：临界线上的部分Euler产品

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The initial version of the Birch and Swinnerton-Dyer conjectureconcerned asymptotics for partial Euler products for an elliptic curve$L$-function at $s = 1$. Goldfeld later proved that these asymptoticsimply the Riemann hypothesis for the $L$-function and that theconstant in the asymptotics has an unexpected factor of $sqrt{2}$.We extend Goldfeld's theorem to an analysis of partial Euler productsfor a typical $L$-function along its critical line. The general$sqrt{2}$ phenomenon is related to second moments, while theasymptotic behavior (over number fields) is proved to be equivalent toa condition that in a precise sense seems much deeper than the Riemannhypothesis. Over function fields, the Euler product asymptotics cansometimes be proved unconditionally.
机译：Birch和Swinnerton-Dyer猜想的初始版本涉及椭圆曲线$ L $函数在$ s = 1 $时的部分Euler乘积的渐近性。 Goldfeld后来证明了这些渐近性暗示$ L $函数的黎曼假设，并且渐近常数在一个非预期因子$ sqrt {2} $中得到了扩展。我们将Goldfeld定理扩展到对典型$ L $的部分Euler乘积的分析。 -沿其临界线运行。一般的$ sqrt {2} $现象与第二时刻有关，而渐近行为（在数域上）被证明等效于在某种意义上似乎比黎曼假说更深的条件。在功能域上，有时可以无条件证明Euler产品的渐近性。

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