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首页> 外文期刊>Canadian Journal of Mathematics >On the Sizes of Gaps in the Fourier Expansion of Modular Forms
【24h】

On the Sizes of Gaps in the Fourier Expansion of Modular Forms

机译：关于模形式的傅立叶展开中的间隙的大小

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Let $f= sum_{n=1}^{infty} a_f(n)q^n$ be a cusp form with integerweight $k geq 2$ that is not a linear combination of forms withcomplex multiplication. For $n geq 1$, let $$ i_f(n)=egin{cases}max{ i : a_f(n+j)=0 ext{ for all } 0 leq j leqi}& ext{if $a_f(n)=0$,}0& ext{otherwise}.end{cases} $$ Concerning bounded valuesof $i_f(n)$ we prove that for $epsilon >0$ there exists $M =M(epsilon,f)$ such that $# {n leq x : i_f(n) leq M} geq (1- epsilon) x$. Using results of Wu, we show that if $f$ is a weight 2cusp form for an elliptic curve without complex multiplication, then$i_f(n) ll_{f, epsilon} n^{frac{51}{134} + epsilon}$. Using aresult of David and Pappalardi, we improve the exponent to$frac{1}{3}$ for almost all newforms associated to elliptic curveswithout complex multiplication. Inspired by a classical paper ofSelberg, we also investigate $i_f(n)$ on the average using well knownbounds on the Riemann Zeta function.
机译：令$ f = sum_ {n = 1} ^ {infty} a_f（n）q ^ n $是整数权重$ k geq 2 $的风口浪尖形式，它不是形式与复杂乘法的线性组合。对于$ n geq 1 $，令$$ i_f（n）= egin {cases} max {i：a_f（n + j）= 0 ext {对于所有} 0 leq j leqi}＆ext {如果$ a_f（n） = 0 $，} 0 ext {otherwise} .end {cases} $$关于$ i_f（n）$的有界值，我们证明对于$ epsilon> 0 $，存在$ M = M（epsilon，f）$使得$＃{n leq x：i_f（n）leq M} geq（1- epsilon）x $。使用Wu的结果，我们表明，如果$ f $是椭圆曲线的权重2个点的形式而没有复杂的乘法运算，则$ i_f（n）ll_ {f，epsilon} n ^ {frac {51} {134} + epsilon} $。利用David和Pappalardi的研究结果，我们将几乎所有与椭圆曲线相关的新形式的指数提高为frac {1} {3} $，而无需复数乘法。受塞尔伯格（Selberg）一篇经典论文的启发，我们还使用黎曼Zeta函数的已知界来平均研究$ i_f（n）$。

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