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Revisiting Dirichlet's solution over an R^2 ball using Poisson's kernel

机译：使用泊松核在R ^ 2球上重温Dirichlet的解决方案

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The present work is aimed at revisiting the continuity of the solutionto Dirichlet's homogeneous problem applied to a unit radius ball, B inR2 by using Poisson's Kernel. Continuity in the solution is rigorouslyjusti ed over @B. This reasoning is supported by the theorem of exis-tence of solutions to Dirichlet's problem for balls [4] as well as by theuniform convergence of Poisson's kernel Pr( ) in 0 r < 1 (with con-stant r). Therefore, the coe cients of the corresponding Fourier seriesfor n = 1; 2; are as followsa02=12 Z .. Pr( )d = 1 and an =1 Z .. Pr( ) cos n d = 2rn:From this series representation of Pr( ) it can be readily observed that12 Z .. Pr(' .. )d =12 Z@BK(x; y; v;w)ds = 1:This result, coupled with the continuity of function f de ned over @B,which indicates the values of u on the boundary of , implies the con-tinuity of u as a solution over B.
机译：当前的工作旨在通过使用泊松核，重新讨论Dirichlet均匀问题解的连续性，该问题适用于单位半径球B inR2。解决方案的连续性通过@B严格调整。球的狄利克雷问题解的存在性定理[4]以及泊松核Pr（）在0 r <1（具有恒定r）下的一致收敛性支持了这一推理。因此，n = 1时对应的傅里叶级数的系数; 2;如下：a02 = 12 Z .. Pr（）d = 1且= 1 Z .. Pr（）cos nd = 2rn：从Pr（）的这个系列表示中，可以很容易地观察到12 Z .. Pr（）d。 ）d = 12 Z @ BK（x; y; v; w）ds = 1：这个结果，加上在@B上定义的函数f的连续性，它表示u边界上的u值，表示u作为B的解的连续性。

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