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ON SMOOTH SOLUTIONS OF NON LINEAR DYNAMICAL SYSTEMS, fn+1 = u(fn), PART I | Science Publications

机译：关于非线性动力系统的光滑解，fn + 1 = u（fn），第一部分|科学出版物

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> We consider the dynamical system, fn+1 = u(fn), (1) (where usually n, is time) defined by a continuous map u. Our target is to find a flow of the system for each initial state f0, i.e., we seek continuous solutions of (1), with the same smoothness degree as u. We start with the introduction of continued forms which are a generalization of continued fractions. With the use of continued forms and a modulator function (i.e., weight function) m, we construct a sequence of smooth functions, which come arbitrarily close to a smooth flow of (1). The limit of this sequence is a functional transform, Km[u], of u, with respect to m. The functional transform is a solution of (1), in the sense that, Km (y + c), is a flow of (1) for each translation constant c. Here we present the first part of our work where we consider a subclass of dissipative dynamical systems in the sence that they have wandering sets of positive measure. In particular we consider strictly increasing real univariate maps, u: D→D, D = (ɑ+∞), where, ɑ≤0, or, ɑ=-∞, with the property, u(x)-x≥ε>0, which implies that u, has no real fixed points. We briefly give some mathematical and physical applications and we discuss some open problems. We demonstrate the method on the simple non-linear dynamical system, fn+1 = (fn)2+1."
机译： >我们考虑动力系统 f n +1 = u （ f n ），（1）（通常为n，是时间）由连续图 u 定义。我们的目标是找到每个初始状态 f 0 的系统流，即，我们寻求与（i）相同的平滑度的（1）的连续解。 > u 。我们从引入连续形式开始，这是连续分数的概括。通过使用连续形式和调制器函数（即权重函数） m ，我们构造了一系列平滑函数，它们任意接近于（1）的平滑流。此序列的极限是 u <的 K m [ u ]的函数变换/ i>，关于 m 。从 K m （ y + c ）是每个转换常数 c 的（1）流程。在这里，我们介绍了我们工作的第一部分，其中考虑了耗散动力系统的一个子类，因为它们具有一系列积极的措施。特别是，我们考虑严格增加实单变量映射 u ： D→D，D =（ɑ+∞），其中ɑ≤0或ɑ=-∞ ，具有 u （x）-x≥ε> 0的属性，这意味着 u 没有真正的固定点。我们简要介绍一些数学和物理应用程序，并讨论一些开放性问题。我们在简单的非线性动力系统 f n +1 =（ f n ） 2 +1。”

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