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Existence of solution for Liouville-Weyl Fractional Hamiltonian systems

机译：Liouville-Weyl分数哈密顿系统的解的存在性

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In this paper, we investigate the existence of solution for the following fractional Hamiltonian systems: egin{eqnarray}label{eq00} _{t}D_{infty}^{lpha}(_{-infty}D_{t}^{lpha}u(t)) + L(t)u(t) = & abla W(t,u(t)) uin H^{lpha}(mathbb{R}, mathbb{R}^{N}).onumber end{eqnarray} where $lpha in (1/2, 1)$, $tin mathbb{R}$, $uin mathbb{R}^{n}$, $Lin C(mathbb{R}, mathbb{R}^{n^{2}})$ is a symmetric and positive definite matrix for all $tin mathbb{R}$, $Win C^{1}(mathbb{R}imes mathbb{R}^{n}, mathbb{R})$ and $abla W$ is the gradient of $W$ at $u$. The novelty of this paper is that, assuming there exists $lin C(mathbb{R}, mathbb{R})$ such that $(L(t)u,u)geq l(t)|u|^{2}$ for all $tin mathbb{R}$, $uin mathbb{R}^{n}$ and the following conditions on $l$: $inf_{tin mathbb{R}}l(t) &0$ and there exists $r_{0}&0$ such that, for any $M&0$ $$ m({tin (y-r_{0}, y+r_{0})/;;l(t)leq M}) o 0;;mbox{as};;|y|o infty. $$ are satisfied and $W$ is superquadratic growth as $|u| o +infty$, we show that (ef{eq00}) possesses at least one nontrivial solution via mountain pass theorem. Recent results in cite{CT} are significantly improved. We do not assume that $l(t)$ have a limit for $|t| o infty$.
机译：在本文中，我们研究以下分数阶Hamilton系统的解的存在： begin {eqnarray} label {eq00} _ {t} D _ { infty} ^ { alpha}（_ {- infty} D_ { t} ^ { alpha} u（t））+ L（t）u（t）=＆amp; nabla W（t，u（t）） u in H ^ { alpha}（ mathbb {R}， mathbb {R} ^ {N}）。 nonumber end {eqnarray}其中$ alpha in（1/2，1）$，$ t in mathbb {R} $，$ u in mathbb {R} ^ {n} $，$ L in C（ mathbb {R}， mathbb {R} ^ {n ^ {2}}）$是 mathbb {R} $中所有$ t ，C ^ {1}中$ W （ mathbb {R} times mathbb {R} ^ {n}， mathbb {R}）$和$ nabla W $是$ w $在$ u $处的梯度。本文的新颖之处在于，假设在C（ mathbb {R}， mathbb {R}）$中存在$ l ，使得$（L（t）u，u） geq l（t）| u | ^ {2} $表示所有$ t in mathbb {R} $，$ u in mathbb {R} ^ {n} $和$ l $上的以下条件：$ inf_ {t in mathbb {R}} l（t）＆ 0 $，并且存在$ r_ {0}＆ 0 $使得对于任何$ M＆ 0 $ $$ m（ {t in（y-r_ {0 }，y + r_ {0}）/ ; ; l（t） leq M }）至0 ; ; mbox {as} ; ; | y | 至 infty。 $$满足，$ W $是超二次增长，因为$ | u | to + infty $，我们通过山口定理证明（ ref {eq00}）至少具有一个平凡的解。 cite {CT}中的最新结果得到了显着改善。我们不假定$ l（t）$具有$ | t |的限制。 to infty $。

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