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Basic properties of for which the space _{ }( ) is distinguished

机译：区分空间_ {}（）的基本属性

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In our paper [Proc. Amer. Math. Soc. Ser. B 8 (2021), pp. 86–99] we showed that a Tychonoff space $X$ is a $Delta$-space (in the sense of R. W. Knight [Trans. Amer. Math. Soc. 339 (1993), pp. 45–60], G. M. Reed [Fund. Math. 110 (1980), pp. 145–152]) if and only if the locally convex space $C_{p}(X)$ is distinguished. Continuing this research, we investigate whether the class $Delta$ of $Delta$-spaces is invariant under the basic topological operations. We prove that if $X in Delta$ and $arphi :X o Y$ is a continuous surjection such that $arphi (F)$ is an $F_{sigma }$-set in $Y$ for every closed set $F subset X$, then also $Yin Delta$. As a consequence, if $X$ is a countable union of closed subspaces $X_i$ such that each $X_iin Delta$, then also $Xin Delta$. In particular, $sigma$-product of any family of scattered Eberlein compact spaces is a $Delta$-space and the product of a $Delta$-space with a countable space is a $Delta$-space. Our results give answers to several open problems posed by us [Proc. Amer. Math. Soc. Ser. B 8 (2021), pp. 86–99]. Let $T:C_p(X) longrightarrow C_p(Y)$ be a continuous linear surjection. We observe that $T$ admits an extension to a linear continuous operator $widehat {T}$ from $mathbb {R}^X$ onto $mathbb {R}^Y$ and deduce that $Y$ is a $Delta$-space whenever $X$ is. Similarly, assuming that $X$ and $Y$ are metrizable spaces, we show that $Y$ is a $Q$-set whenever $X$ is. Making use of obtained results, we provide a very short proof for the claim that every compact $Delta$-space has countable tightness. As a consequence, under Proper Forcing Axiom every compact $Delta$-space is sequential. In the article we pose a dozen open questions.
机译：在我们的论文中[proc。 amer。数学。 SOC。 Ser。 B 8（2021），pp.86-99]我们展示了Tychonoff空间$ x $是一个$ delta $ -pace（在Rw Knight [Trans。amer。数学。Soc。339（1993），第45-60]，GM REED [基金。数学。110（1980），第145-152页））如果且仅当本地凸起空间$ c_ {p}（x）$仅区分。继续这项研究，我们调查了基本拓扑业务下的$ delta $ -spaces是否不变。我们证明，如果$ x in delta $和$ varphi：x to y $是一个连续的抢注，使得$ varphi（f）$ in $ f _ { sigma} $ - 设置为$ y $每一个封闭的设置$ f subset x $，那么也是$ y in delta $。因此，如果$ x $是一个可数封闭子空间的可数联盟$ x_i $，例如每一个$ x_i in delta $，那么也是$ x in delta $。特别是，$ sigma $-product任何散落的eberlein紧凑型空间是$ delta $ -pace和$ delta $ -space的产品，带有可数空间是$ delta $ -space。我们的结果为我们提出了几个打开问题的答案[proc。 amer。数学。 SOC。 Ser。 B 8（2021），pp。86-99]。让$ t：c_p（x） longrightarrow c_p（y）$是连续的线性引发。我们观察到$ t $允许扩展到线性连续运算符$ widehat {t} $ threv $ mathbb {r} ^ $ to $ to $ mathbb {r} ^ y $，推断为$ y $ delta $ -pace每当$ x $时。同样，假设$ x $和$ y $是可调节的空间，我们显示$ y $是$ q $ -set每当$ x $。利用获得的结果，我们为每个Compact $ Delta $ -space提供了非常短的证据，以至于每个Compact $ Delta $ -space具有可数密封性。因此，在适当的强制公理下，每个Compact $ delta $ -space是顺序的。在文章中，我们构成了十几个开放的问题。

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