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EXISTENCE OF TRAVELING WAVE SOLUTIONS TO PARABOLIC-ELLIPTIC-ELLIPTIC CHEMOTAXIS SYSTEMS WITH LOGISTIC SOURCE

机译：抛物面 - 椭圆形 - 椭圆形趋化系统的行进波解的存在性

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The current paper is devoted to the study of traveling wave solutions of the following parabolic-elliptic-elliptic chemotaxis systems, {u_t=Δu-▽·(χ1u▽υ_1)+▽·(χ+2u▽υ_2)+u(a-bu),x∈R~N, 0=Δυ_1-λ_1υ_1+μ_1u,x∈R~N,(0.1) 0=Δυ_2-λ_2υ_2+μ_2u,x∈R~N, where a ＞ 0,b ＞ 0,u(x,t) represents the population density of a mobile species, υ_1(x,t); represents the population density of a chemoattractant, υ_2(x,t) represents the population density of a chemorepulsion, the constants χ_1≥0 and χ_2≥0 represent the chemotaxis sensitivities, and the positive constants λ_1,λ_2, μ_1, and μ_2 are related to growth rate of the chemical substances. It was proved in an earlier work by the authors of the current paper that there is a nonnegative constant K depending on the parameters χ_1, μ_1, λ_1,χ_2,μ_2, and λ_2 such that if b+χ_2μ_2 ＞ χ_1μ_1+K, then the positive constant steady solution (a/b,(aμ_1)/(bλ_1),(aμ_2)/(bλ_2) of (0.1) is asymptotically stable with respect to positive perturbations. In the current paper, we prove that if bχ_2μ_2＞χ_1μ_1+K, then there exists a positive number c*(χ_1,μ_1,λ_1,χ_2,μ_2,λ_2) ≥2a~(1/2) such that for every c∈(c*(χ_1,μ_1,λ_1,χ_2,μ_2,λ_2),∞) and ξ∈ S~(N-1), the system has a traveling wave solution (u(x,t),υ_1(x,t),υ_2(x,t)) = (U(x·ξ-ct),V_1(x·ξ-ct),V_2(x·ξ-ct)) with speed c connecting the constant solutions ( a/b,(aμ_1)/(bλ_1),(aμ_2)/(bλ_2)) and (0, 0, 0), and it does not have such traveling wave solutions of speed less than 2 a~(1/2). Moreover we prove that (χ1,χ2)lim→(0+,0+)~(c*(χ_1,μ_1,λ_1,χ_2,μ_2,λ_2)={2a~(1/2) if a≤min{λ_1,λ_2} (a+λ_1)/((λ_1)~(1/2)) if λ_1≤min{a,λ_2} (a+λ_2)/((λ_2)~(1/2)) if λ_2≤min{a,λ_1}) for every λ_1,λ_2,μ_1,μ_2 ＞ 0, and lim x→∞(U(ⅹ))/(e~(-a~(1/2)μx)=1), where μ is the only solution of the equation μ + 1/μ= c/(a~(1/2)) in the interval (0,min{1,((λ_1)/a)~(1/2),((λ_2)/a)~(1/2)}).
机译：目前的纸张致力于研究以下抛物线 - 椭圆形 - 椭圆趋化系统的行进波解，{U_T =ΔU-··（χ1u▽▽_1）+▽·（χ+2u▽▽_2）+ U（a- bu），x∈r〜n，0 =Δυ_1-λ_1υ_1+μ_u，x∈r〜n，（0.1）0 =Δυ_2-λ_2υ_2+μ_2u，x∈r〜n，其中a> 0，b> 0，u （x，t）表示移动物种的人口密度，χ_1（x，t）;表示化学侵入剂的人口密度，υ_2（x，t）表示化学脉冲的种群密度，常数χ_1≥0和χ_2≥0表示趋化性敏感性，阳性常数λ_1，λ_2，μ_1和μ_2是相关的对化学物质的生长速度。在本纸张的作者中，证明了当前纸张的作者，即根据参数χ_1，μ_1，λ_1，χ_2，μ_2和λ_2，存在非负常数k，使得如果B +χ_2μ_2>χ_1μ_1+ k，则（0.1）的正常数稳态溶液（A / B，（aμ_1）/（bλ_1），（aμ_2）/（bλ_2）相对于阳性扰动是渐近稳定的。在目前的纸张中，我们证明如果bχ_2μ_2>χ_1μ_1+ K，然后存在正数C *（χ_1，μ_1，λ_1，χ_2，μ_2，λ_2）≥2a〜（1/2），使得每个c 1（c *（χ_1，μ_1，λ_1，χ_2，μ_2 λ_2），∞）和ξ∈s〜（n-1），系统具有行波溶液（U（x，t），υ_1（x，t），υ_2（x，t））=（u（ X·ξ-CT），V_1（x·ξ-ct），v_2（x·ξ-ct），速度c连接恒定溶液（a / b，（aμ_1）/（bλ_1），（aμ_2）/（ bλ_2））和（0,0,0），并且它没有速度的速度小于2 a〜（1/2）。此外，我们证明了（χ1，χ2）lim→（0 +，0 +）〜（c *（χ_1，μ_1，λ_1，χ_2，μ_2，λ_2）= {2a〜（1/2），如果a≤min{λ_1，λ_2}（a +λ_1）/（（λ_1）〜（1 / 2））如果λ_1≤min{a，λ_2}（a +λ_2）/（（λ_2）〜（1/2）） λ_2≤min{a，λ_1}）对于每个λ_1，λ_2，μ_1，μ_2> 0和lim x→∞（u（ⅹ））/（e〜（a〜（1/2）μx）= 1）其中μ是间隔中的等式μ+ 1 /μ= c /（a〜（1/2））的唯一解决方案（0，min {1，（（λ_1）/ a）〜（1/2） ，（（λ_2）/ a）〜（1/2）}）。

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