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Path Gain Algebraic Formulation for the Scalar Linear Network Coding Problem

机译：标量线性网络编码问题的路径增益代数公式

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In the algebraic view, the solution to a network coding problem is seen as a variety specified by a system of polynomial equations typically derived by using edge-to-edge gains as variables. The output from each sink is equated to its demand to obtain polynomial equations. In this paper, we propose a method to derive the polynomial equations using source-to-sink path gains as the variables. In the path gain formulation, we show that linear and quadratic equations suffice; therefore, network coding becomes equivalent to a system of polynomial equations of maximum degree 2. We present algorithms for generating the equations in the path gains and for converting path gain solutions to edge-to-edge gain solutions. Because of the low degree, simplification is readily possible for the system of equations obtained using path gains. Using small-sized network coding problems, we show that the path gain approach results in simpler equations and determines solvability of the problem in certain cases. On a larger network (with 87 nodes and 161 edges), we show how the path gain approach continues to provide deterministic solutions to some network coding problems.
机译：在代数观点中，网络编码问题的解决方案被视为多种多样的多项式方程组，这些系统通常通过使用边到边增益作为变量来推导。每个接收器的输出等于其需求以获得多项式方程式。在本文中，我们提出了一种使用源到汇路径增益作为变量来推导多项式方程的方法。在路径增益公式中，我们表明线性方程和二次方程就足够了。因此，网络编码相当于最大阶数为2的多项式方程组。我们提出了一种算法，用于在路径增益中生成方程，并将路径增益解转换为边到边增益解。由于低度，对于使用路径增益获得的方程式系统很容易进行简化。使用小型网络编码问题，我们证明了路径增益方法得出的方程更简单，并且在某些情况下确定问题的可解决性。在更大的网络（具有87个节点和161个边缘）上，我们展示了路径增益方法如何继续为某些网络编码问题提供确定性解决方案。

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