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A Triangulation-Invariant Method for Anisotropic Geodesic Map Computation on Surface Meshes

机译：曲面网格上各向异性测地线图的三角不变式方法

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This paper addresses the problem of computing the geodesic distance map from a given set of source vertices to all other vertices on a surface mesh using an anisotropic distance metric. Formulating this problem as an equivalent control theoretic problem with Hamilton-Jacobi-Bellman partial differential equations, we present a framework for computing an anisotropic geodesic map using a curvature-based speed function. An ordered upwind method (OUM)-based solver for these equations is available for unstructured planar meshes. We adopt this OUM-based solver for surface meshes and present a triangulation-invariant method for the solver. Our basic idea is to explore proximity among the vertices on a surface while locally following the characteristic direction at each vertex. We also propose two speed functions based on classical curvature tensors and show that the resulting anisotropic geodesic maps reflect surface geometry well through several experiments, including isocontour generation, offset curve computation, medial axis extraction, and ridge/valley curve extraction. Our approach facilitates surface analysis and processing by defining speed functions in an application-dependent manner.
机译：本文解决了使用各向异性距离度量来计算从给定的一组源顶点到曲面网格上所有其他顶点的测地距离图的问题。用Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程将这个问题表述为等效控制理论问题，我们提出了一个使用基于曲率的速度函数来计算各向异性测地线图的框架。这些方程的基于有序迎风方法（OUM）的求解器可用于非结构化平面网格。我们针对表面网格采用基于OUM的求解器，并为该求解器提出了不三角剖分的方法。我们的基本思想是探索表面上各个顶点之间的接近度，同时局部遵循每个顶点的特征方向。我们还提出了两个基于经典曲率张量的速度函数，并表明通过多个实验（包括等高线生成，偏移曲线计算，中间轴提取和脊/谷曲线提取），生成的各向异性测地线图能够很好地反映表面几何形状。我们的方法通过以依赖于应用程序的方式定义速度函数来促进表面分析和处理。

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