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首页> 外文期刊>Journal of applied non-classical logics >Completeness and incompleteness for anodic modal logics
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Completeness and incompleteness for anodic modal logics

机译：阳极模态逻辑的完备性和不完备性

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摘要

We propose a new approach to positive modal logics, hereby called anodic modal logics. Our treatment is completely positive since the language has neither negation nor any falsum or minimal particle. The elimination of the minimal particle of the language requires introducing the new concept of factual sets and factual deductions which permit us to talk about deductions in the actual world.rnWe start from a positive fragment of the standard system K, denoted by K~(is contained in,∧,◇), which is a bi-modal system with □ and ◇ as primitive. This system is then extended to a class of fragments of the Lemmon and Scott systems (cf. (Lemmon et al., 1977)), denoted by K~(is contained in,∧,◇)+G~(kml,m,n)+G~(m,n,k,l). It is shown that such classes of systems are characterized with respect to the usual Kripke-style semantics. The proof is by way of a Henkin-style construction, with "possible worlds" being taken to be prime theories as introduced in the modal context by J. M. Dunn in (Dunn, 1995). We also obtain a surprising limiting result showing that the incompleteness phenomenon in modal logic is independent of negation.
机译：我们提出一种用于正模态逻辑的新方法，这里称为阳极模态逻辑。我们的处理方式是完全积极的，因为该语言既没有否定词，也没有任何错误或最小的残词。消除语言的最小粒子要求引入事实集和事实演绎的新概念，这使我们可以讨论现实世界中的演绎。我们从标准系统K的正片段开始，用K〜（is包含在（∧，◇）中，这是一个以□和◇为原始元素的双峰系统。然后，该系统扩展到Lemmon和Scott系统的一类碎片（参见（Lemmon等，1977）），用K〜（包含在，∧，◇）+ G〜（kml，m， n）+ G〜（m，n，k，l）。结果表明，此类系统类别是根据通常的Kripke风格语义来表征的。证明是通过Henkin式的构造进行的，“可能的世界”被当做是J.M. Dunn在（1995年，Dunn，1995年）在情态背景下引入的主要理论。我们还获得了令人惊讶的极限结果，表明模态逻辑中的不完全现象与否定无关。

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