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On the Dynamical Process Generated by a Superconductivity Model

机译：超导模型产生的动力学过程

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We present a result on the existence and uniqueness of a weak solution to the time-dependent Ginzburg-Landau equations. These equations describe a macroscopic model for a superconductor Ω near the critical temperature. Mathematically, they form a semilinear, weakly parabolic system for the unknowns (ψ,A,Φ). Any two solutions related through a gauge transformation describe the same physical state of the superconductor. We choose the gauge "Φ = - div A" to reduce this system to a strongly parabolic one. (I.e., we "factor out" the linear space of all Φ' = Φ + div A.) Assuming sufficient smoothness of the boundary partial deriv Ω of the superconductor and of the external magnetic field H as well, we then show that the reduced system for (ψ, A, — div A) possesses a unique weak solution whose spatial regularity (differentiability in x) at any time t ≥ 0 is at least as high as at t = 0. We prove that these solutions generate a dynamical process in a suitable Cartesian product of fractional Sobolev spaces. For the global existence in time t ≥ 0, we assume only ∫_0~t (∫_Ω |(partial deriv H)/(partial deriv t)|~2 dx)~(1/2) dt < ∞ for all t≥ 0. If H is τ-periodic in time (τ > 0), hen so is the dynamical process (which becomes a dynamical system if H is time-independent).
机译：我们提出了一个关于时间依赖的Ginzburg-Landau方程的弱解的存在性和唯一性的结果。这些方程式描述了临界温度附近的超导体Ω的宏观模型。在数学上，它们为未知数（ψ，A，Φ）形成半线性，弱抛物线系统。通过量规转换相关的任何两个解决方案都描述了超导体的相同物理状态。我们选择量规“Φ=-div A”以将该系统简化为强抛物线形。 （即，我们“分解”出所有Φ'=Φ+ div A的线性空间。）假设超导体的边界偏导数Ω和外部磁场H也具有足够的平滑度，则表明减小了（ψ，A，— div A）的系统拥有一个独特的弱解，其任意时间t≥0的空间规则性（x的可微性）至少与t = 0时一样高。我们证明了这些解产生了一个动力学过程在分数Sobolev空间的合适笛卡尔积中。对于时间t≥0的全局存在，我们假设对于所有t≥，仅∫_0〜t（∫_Ω|（偏导数H）/（偏导数t）|〜2 dx）〜（1/2）dt <∞ 0。如果H在时间上为τ周期（τ> 0），则动力学过程也是如此（如果H与时间无关，则它成为动力学系统）。

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